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英語の曜日の名前

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というわけで今回は英語の曜日の名前について。月の名前はこちら→英語の月の名前 - shaitan's blog

日曜日

Sunday < OE sunnandæġ （sunnanはsunneの単数属格）であるからsun's dayという意味。これはL diēs sōlisのなぞりで、これは更にGk ἡμέρᾱ Ἡλίουのなぞり。*1
英語と同じ西ゲルマン語のオランダ語ではzondagであり、「どんたく」はこれに由来する。

月曜日

Monday < OE mōnandæġ （mōnanはmōnaの単数属格）なのでmoon's dayの意。これも日曜と同じでL diēs Lūnae, Gk ἡμέρᾱ Σελήνης のなぞり。*2

火～土曜日

北欧神話の日本への先駆的紹介者として知られる山室静*3は、その著書『北欧の神話』の「はじめに」において〈ヨーロッパで使われる週の名は、チュールの日（火曜）、オーディンの日（水曜）、トールの日（木曜）、フリッグの日（金曜）と、四つまでがこの神話[=北欧神話、あるいはゲルマン神話]の神の名をとっている〉*4と書いている。「ヨーロッパで」はさすがに言い過ぎだとしても、ゲルマン語である英語は無論この例に漏れない。
曜日が神の名を冠するのは曜日と天体の対応によるものであるが、天体に対応する神の名前は神話体系によりそれぞれ異なる。〈ギリシア語で火星、水星、木星、金星、土星の5惑星にはそれぞれアレス、ヘルメス、ゼウス、アプロディテ、クロノスの神の名が付けられていた。[…]5惑星はラテン語ではローマ神話でのそれぞれの対応神名であるMars、Mercurius、Iupiter、Venus、Saturnusに変換されていた。[…]ロマンス語の土曜にはそれ[=Saturnus]は残らずSaturdayとして英語に残るだけとなった（英語で火水木金に使われた名前は、ローマ神話の神名に対応するゲルマン神話の神の名前である）。〉*5

火曜日

勝利を望むならば勝利のルーネを知らねばなりません。剣の柄の上に、あるいは血溝の上に、また、剣の峰に彫り、二度チュールの名を唱えなさい。

『古エッダ』「シグルドリーヴァの歌」6節*6

勝利のルーネとはᛏであり、この文字も軍神と同じくチュールと呼ばれる。〈チュール[…]の名はヴェーダのデイヤウス、ギリシアのゼウス、ローマ神話のジュピターと同系の語で[…]、チュールはもとはゲルマン族の天空の神として、最高位にあった〉*7が、〈オーディンにその地位を取って代わられた。行使する権利として、法の執行としての戦争を司る。〉*8 チュールは同じく軍神であるマルスと同一視されて火曜日に名前を残している。

水曜日

彼[=オーディン]はヴァルファズル（戦死者の父）とも呼ばれる。というのは戦場で倒れた者は一人残らず彼の養子だからだ。オーディンは彼らをヴァルハラとヴィーンゴールヴに送る。

『スノッリのエッダ』「ギュルヴィたぶらかし」20節*9

〈ウォーダンが風の神であり、飛行（ひぎょう）、疾行の神であり、また死霊の軍を率いるものであったところから、ヘルメースとメルクリウスに結びつけられたのであろう。〉*10
[2021.3.7 追記]
Wednesdayの発音や綴り（語源はWodenなのになぜWednesdayなのか、最初のdが黙字なのはなぜか）についてはこちらを参照（堀田隆一 "hellog～英語史ブログ " #1261. ''Wednesday'' の発音，綴字，語源）。

木曜日

ユピテル同様に雷神であるトールの日になっている。ユピテルと語根を同じくするチュールの日ではない。
〈トールはよく〈車のトール〉と呼ばれるが、それはトールが二頭の山羊に曳かせた車に乗って空を駆けるからだ。彼が車を走らせると岩は震え、亀裂を生じ、大地は車の下で燃える。その時、凄まじい響きが聞える。これを人々は雷鳴と呼んでいるのだ。〉*11

金曜日

〈かのじょ[=オーディンの妻フリッグ]は古くからローマのヴェヌス（ヴィーナス）にあたるとされて、〈ヴェヌスの日〉金曜日が、英独北欧などでは、かのじょの名をつけて呼ばれて、結婚するには特にめでたい日だとされてきました。〉*12 ということらしい。

*1:寺澤芳雄編『英語語源辞典（縮刷版）』研究社 1999, p. 1380. "Sunday".

*2:Ibid., p. 918. "Monday".

*3:筑摩書房 著者紹介ページ「山室静」https://www.chikumashobo.co.jp/author/003428/

*4:山室静『北欧の神話』ちくま学芸文庫 2017, pp. 9f. [『北欧の神話』 筑摩書房 1982, pp. 3f.]

*5:小林標『ロマンスという言語 ――フランス語は、スペイン語は、イタリア語は、いかに生まれたか――』大阪公立大学共同出版会 2019, p. 146.

*6:谷口幸男訳『エッダ ――古代北欧歌謡集』新潮社 1973, p. 144.

*7:山室 op. cit., p. 147.

*8:クロード・ルクトゥ『北欧とゲルマンの神話事典 伝承・民話・魔術』篠田知和基監訳 原書房 2019, p. 192.

*9:谷口訳 op. cit., pp. 241f.

*10:泉井久之助訳注『タキトゥス ゲルマーニア』岩波文庫 1979, p. 61n.

*11:谷口幸男『エッダとサガ 北欧古典への案内』新潮選書 2017 [1976], p. 38.

*12:山室 op. cit., p. 183.

東工大1966年前期問題5

箱庭数学 
問題略

これらのうちの一つをzとする。z, z^2, z^3, z^4はいずれも求める3つの複素数のいずれかなので、このうち少なくとも二つは等しい。
従ってz=1かz^2=1かz^3=1が成り立つのでz=\pm1, \omega, \omega^2 （ただし、\omega=\dfrac{-1+\sqrt3\mathrm{i}}2）。
求める3数に\omegaが含まれないとすると、\omega^2は含まれるため\omega^2\cdot\omega^2=\omegaが含まれることに矛盾。
よって\omegaは含まれるが、このとき\omega^2, \omega^3=1も含まれる。
従って求める3数は\dfrac{-1\pm\sqrt3\mathrm{i}}2,1以外ではありえないが、確かにこれは問題の条件を満たしている。

京大2011年前期理系問題6

箱庭数学 数学問題bot

A,B,Cを同時に通る相異なる球面をそれぞれf(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0とする*1。Dの座標を(a,b,c)とすると、g(a,b,c)f(x,y,z)-f(a,b,c)g(x,y,z)=0はA,B,C,Dを通る球面もしくは平面を与える*2が、ABCDは四面体なのでこれは球面である。

*1:これが存在することもちゃんと示さないとダメか？

*2:左辺は0でなく、x^2, y^2, z^2の係数が全て等しく、xy, yz, zxの係数が0であるようなx, y, zの二次以下の式なので。

ボルダ勝者はペア全敗者ではない

箱庭数学

坂井豊貴『社会的選択理論への招待』の定理1が「ボルダ勝者はペア全敗者ではない。」である*1。この証明はボルダがボルダルールを導入した論文*2 にも載っていないらしく、〈実際のところ、その証明のようなものが与えられるのは約200年後のFishburn and Gehrlein (1976)*3によってである。〉*4〈証明「のようなもの」というのは、彼らの証明[…]が、大筋を説明するに過ぎないからだ。〉*5
この程度の定理はどこにでも証明が転がってるだろうと思ったのだが、日本語で軽くググった限りでは見つけられなかったためここに書いておいても全くの無駄というわけではあるまい*6。

有権者の数をn、選択肢の数をmとする。それぞれの有権者がi位に(m-i)点をつけるスコアリングルールRを考えると、Rのもとではボルダ勝者が選ばれる。
Rにおいてはすべての得点の和はn\cdot\dfrac{m(m-1)}2であるから、ボルダ勝者のRにおける得点は\dfrac{n(m-1)}2以上である。
Rのもとでボルダ勝者にk点を与えた有権者は、ボルダ勝者と残りの選択肢それぞれとのペア多数決を行うときにk回ボルダ勝者に票を投ずることに注意すると、ボルダ勝者と残りの選択肢それぞれとのペア多数決においてボルダ勝者は合計\dfrac{n(m-1)}2票以上を得る。
ペア全敗者はそれぞれの多数決で他の選択肢以下の得票しかしないため、ペア全敗者と残りの選択肢それぞれとのペア多数決においてペア全敗者の合計得票数は総票数n(m-1)の半分未満、すなわち\dfrac{n(m-1)}2票未満である。
よってボルダ勝者はペア全敗者ではない。

[2021/2/16追記]
坂井(2013)の§3.3まで読んだらかなり似た議論が紹介されていた。

*1:坂井豊貴『社会的選択理論への招待 ――投票と多数決の科学』日本評論社 2013, p. 8.
また、〈「他の全ての選択肢に対し、ペアごとの多数決で負ける」[…]ような選択肢をペア全敗者と呼ぶ〉（Ibid., p. 7）。いわゆるCondorcet loserのことであるが、著者の用語の方が分かりやすいためそちらを採用した。

*2:M. de Borda, "Mémoire sur les élections au scrutin", Mémoire de l'Académie Royale des Sciences 1781, 657-665 (1784) https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35800/f787.item.
論文の脚注に〈Les idées contenues dans ce mémoire, ont déjà été présentées à l’Académie il y a quatorze ans, le 16 juin 1770.〉とあるので1784年っぽいのだが、表紙（https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35800/f1.item）には中央部に〈Année M. DCCLXXXI〉とあり下に〈M. DCCLXXXIV〉とあるのでよく分からない。

*3:P. C. Fishburn and W. V. Gehrlein "Borda's Rule, Positional Voting, and Condorcet's Simple Majority Principle," Public Choice 28, 79-88 (1976). https://doi.org/10.1007/BF01718459（未読）

*4:坂井 op. cit., p. 7

*5:Ibid., p. 7n

*6:坂井(2013)にも「証明」は載っているものの、特殊な場合についての説明をして他も同様に示されるといった書き方であるため、私にとっては分かりづらかった。ただし私の証明も方針はこれと同じである。

ごまかし

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『広辞苑』では「ごまかし」の語源として〈胡麻胴乱(ごまどうらん)を「ごまかし（胡麻菓子）」と言ったことから〉*1としている。孫引きになるが、『新明解語源辞典』によると『新潮現代国語辞典二版』も「ふくらんで中空の『胡麻菓子』から」としているらしい*2。
胡麻胴乱は『松屋筆記』*3 によると

小麥粉をときて胡麻をまぜ燒ふくらがしたるが見たる貌はうまげにていとまづく中に餒[ﾏﾏ]のありげなれどもさもなくて空なれば食にたへざる粗物也これを容貌美嚴にして思慮愚昧なる者のたとへにいへり

というお菓子。酷い言われようである。
『假名世説』では、『国町の沙汰』*4から江戸の名物が多く出てくる話を引用した後に

延宝の頃の江戸の名物こゝに盡せり此頃いまだ両国橋の幾代もち金龍山の浅草餅本郷笹屋のごまどうらん鎌倉がし豊島屋の大田楽市谷左内坂の粟焼などハなしと見えたり

と名前が挙がっているところを見ると、名物ではあったらしい。*5

しかし、「ごまかし」の語源を胡麻胴乱に求めることについて、『日本語源大辞典』には〈妥当ではないだろう。〉とある。根拠は特に書かれていないが、〈容貌美嚴にして思慮愚昧なる者〉と「ごまかし」では意味に隔たりがあるのは気になる。
『大言海』は〈ごまのはひノごまニ、まぎらかす、だまかすナドノ、かすヲ附ケアハセタルナドニハアルマジキカ〉*6としており、「胡麻菓子」説は採っていない。こちらの説も〈ナドニハアルマジキカ〉と弱気だし、つまるところ語源はよく分からないのである。

*1:新村出編『広辞苑第五版』岩波書店 1998, 「ごまかし」[電子辞書版]
新村出編『広辞苑第七版』岩波書店 2018, 「ごまかし」[電子辞書版]

*2:小松寿雄、鈴木英夫編『新明解語源辞典』三省堂 2011, p. 391. 「ごまかす」

*3:松屋筆記. 第3 - 国立国会図書館デジタルコレクション 卷百九「（廿七）見かけだほし」

*4:国文学研究資料館 一本草・国町の沙汰 国町の沙汰: 画像ファイル名一覧 （被引用部分は 200012885_00011.jpg, 200012885_00012.jpg）

*5:新日本古典籍総合データベース 杏花園/蜀山 編『假名世説』

*6:大槻文彦『新訂大言海』冨山房 1956, p. 724.「ゴマかす」

The American Spelling Book

英語
目的

The American Spelling BookはNoah Websterの書いた教科書である。〈ウェブスターが目指したのは（イギリス英語とは別個の）アメリカ英語の標準を示すことであった。〉*1。以下、Prefeceの最終パラグラフからの引用。*2

To diffuse an uniformity and purity of language in America --- to destroy the provincial prejudices that originate in the trifling differences of dialect, and produce reciprocal ridicule --- to promote the interest, literature and the harmony of the United States --- is the most ardent wish of the author;

アルファベットの名称

以前、ドイツ語絡みで英語のアルファベットの名前について書いた。
shaitan.hatenablog.com
The American Spelling Bookにはアルファベットの名前(Names of the Letters)が載っているのだが、1800年に発行された本では順にa, be, ce, de, e, ef, ge, aytch or he, i, ja, ka, el, em, en, o, pe, cu, er, es, te, u, ve, double u, eks, wi or ye, ze となっている*3。1809年版ではGはje、Hは順番が変わってhe or aytch、Wはooとなっている*4。それから半世紀近く経った1857年の本*5ではRはarとなっている*6。
これらの読み方はよく分からないが、H, Y, Wにそれぞれhe [hiː], ye [jiː], oo[uː]（発音はいずれも推定）のような名前があったらしいというのは面白い。またRについては今回の資料を見る限りでは米国では19世紀前半にerからarに変化しているように見えるが、『英語アルファベット発達史』によると〈14世紀以前にer > ar の変化が多数の語に始まった[…]。この一般的音変化に従って、イギリス名erはarとなった。〉*7 とあるのと整合しない。ウェブスターがRの古い名称を使おうとしてやめたのだろうか？

*1:唐澤一友『世界の英語ができるまで』亜紀書房 2016, p. 159

*2:The American Spelling Book: Containing an Easy Standard of Pronunciation : Noah Webster : Free Download, Borrow, and Streaming : Internet Archive 1800, p. 10.

*3:Ibid., p. 27.

*4:The American spelling book : containing the rudiments of the English language, for the use of schools in the United States : Webster, Noah, 1758-1843 : Free Download, Borrow, and Streaming : Internet Archive 1809, p. 15.
aytchではなくavtchになっているように見えるが……。

*5:タイトルも1829年に"The elementary spelling-book"に変わっている。

*6:The elementary spelling-book. Being an improvement on The American spelling book : Webster, Noah, 1758-1843 : Free Download, Borrow, and Streaming : Internet Archive 1857, p. 15.

*7:田中美輝夫『英語アルファベット発達史』開文社叢書 1970, pp. 157f.

東工大1984年前期問題1

箱庭数学


aとbの最大公約数をgとし、x=\dfrac{a}g, y=\dfrac{b}g, s=x+y, t=x^2-xy+y^2とおく。
a^3+b^3=g^3stが素数の整数乗ならばg, s, tはいずれも同じ素数の整数乗。
(i)x=yのとき
x=y=1よりs=2であるからg=2^n(nは非負整数)。
(ii)x≠yのとき
x>yならばt=x(x-y)+y^2\geq x+y=sであり、y>xのときも同様。
s, tはいずれも同じ素数の整数乗であるから、tはsで割り切れる。
t=s^2-3xyであるから、3xyはsで割り切れるが、sとx, yは互いに素なので3がsで割り切れる。
sは1ではないからs=3。よって(x, y)=(1, 2), (2, 1), g=3^n(nは非負整数)。

(i),(ii)より
(a ,b)=(2^n, 2^n), (3^n, 2\cdot3^n), (2\cdot3^n, 3^n)(nは非負整数)。