f(x)はxの3次式で、f(x)をその導関数f'(x)で割ったときの余りは定数である。このとき方程式f(x)=0をみたす実数はただ一つであることを示せ。 f(x)が単調、つまり極値をもたないことを言えばよい。極大値、極小値をもつとして矛盾を示す。 極大、極小値を与え…

n個(n≧3)の実数があり、各は他のn-1個の相加平均より大きくないという。 このようなの組をすべて求めよ。 とおく。 条件は任意のiに対し ⇔ …(*) iについて1からnまでの和をとるとより等号成立するから、すべてのiについて(*)の等号が成立する。 つまり、 (a…

a+b+c=0を満たす実数a,b,cについて、が成り立つことを示せ。 また、ここで等号が成り立つのはどんな場合か。 (左辺)-(右辺)+(a+b+c)^2=2(|ab|+ab)+2(|bc|+bc)+2(|ca|+ca)≧0より成立する。 等号成立は、ab=-|ab|かつbc=-|bc|かつca=-|ca|つまりab≦0かつbc≦0か…