shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

箱庭数学

京大2005年後期理系問題3

とおく。 である。 これよりであり、この式の値はによらない。 、であるから、 が奇数のとき、、 が偶数のとき、 となる。 を上の解答と同じように定める。 とおくと、である。 これより、となる。 よってであるから。 従って、 が奇数のとき、、 が偶数のと…

京大2003年後期理系問題1

との重心が一致するので、 ⇔ ここで、辺ABと垂直な単位ベクトルに対し、、、であるから、となる。同様にが言えるので示された。

京大1988年文系B日程問題2

、と定義する。 「すべてのについてが整数」 ⇔「すべてのについてが整数」(に注意) ⇔「すべてのについてが整数、()が整数」 ⇔「すべてのについてが整数、()が整数」 ⇔「()が整数」(は高々0次なので定数であることに注意) ここで、とおくと、 ここ…

京大1988年文系B日程問題1

より、両辺をで割ったを示せばよい。 より、相加平均と相乗平均の関係からなので示された。

東大2000年後期問題1

(1) 略(2),(3) 定義よりであり、と定義する。 ここで、命題:「を満たす整数がただ一通り存在する」を、についての帰納法で示す。 は確かになりたつ。ある整数以下のについての成立を仮定すると、 であるから、帰納法の仮定よりが成り立つ。 よって数学的帰…

東大1995年後期問題1

(2) ただし (は整数、)とおく。 よりである。 のとき、 これとより の場合、それぞれなので同様に求まる。 まとめると以下の通り。

京大2015年理系問題5

問題略 (は定数)とおく。となることを示せばよい。 任意の正整数に対しは整数なので、も整数である。 平均値の定理より、を満たすが存在し、である。 よって、、であるから、十分大きなnに対してよりとなる。 ここで、はいずれも正なので、。

京大1991年後期理学部問題2

アンケートです。皆さんはどうやって解きますか? pic.twitter.com/cptqjUAelT— 齋藤涼平 (@saitory) 2022年7月28日 3以上の任意の整数について、。 よっては任意の整数で割り切れる整数であるが、そのような整数は0のみである。すなわち。 は整数係数三次多…

山梨大学2022年後期問題3

が奇素数のときであることを示す。 以下、で考える。 がの倍数となる…(*)。 ここで、あるについてであるから、をで割った余りの分布は独立かつ一様である。 (i) のとき (*)はと同値であり、そのようになる確率は。 (ii) のとき であるから、とは互いに素。よ…

2022年4月第1週 ―電線のたるみと実長の式―

■今週の写経ピックアップ うさ太郎さんは電験の問題を写経している(えらい)電験の過去問を4問写経した(電線のたるみ)(えらい)— うさ太郎 (@_usataro_) 2022年4月1日 電線のたるみ、謎の公式— しゃいたん (@faogr) 2022年4月1日 カテナリーなのは分かってる…

東大2022年前期理系問題4

問題略 とおく。 直線が曲線と相異なる3点で交わる が相異なる3実解を持つ このとき、直線と曲線はいずれも原点対称であるから、これらが囲む2つの部分の面積は等しい。 従って、の通過する領域に含まれる点は条件(ii)を満たす。 領域はを満たす領域と原点の…

いわゆる相加相乗平均がそのまま使えないパターン

相加相乗平均と思いきや…?できれば微分を使わずに解いてみよう!【引っ掛け注意】相加相乗平均、安易に使ってませんか? https://t.co/hU6tez0pYh @YouTubeより— 圏論のあか☆ねこ@数学系Vtuber (@math_neko) 2021年12月27日 であるから、これをの関数と見ると…

駒沢大の問題

これであなたも駅伝走れる?(わけはない)正答率1%!駒澤大の皮をかぶった超難問! https://t.co/yFk73KvXKH @YouTubeより— 圏論のあか☆ねこ@数学系Vtuber (@math_neko) 2021年11月19日 とおく。 このとき、与式はOPの傾きであるから、OPの傾きの最大値を求めれ…

角度の最大値

www.youtube.com 正弦定理より、∠POQが最大となるのは△POQの外接円Cが最小となるとき。 円Cの中心O'は線分PQの垂直二等分線(y=2)上にあり、円Cは点Oを含むため、半径が最小となるのは円Cがx軸に接するときであり、このときの半径は2。 よって△PO'Qは正三角…

不等式bot[94]

問題94 pic.twitter.com/oC4GGqIp0Y— 不等式bot (@Inequalitybot) 2021年10月26日 であることに注意して、 (左辺) (右辺)。 ただし、に対し、 であることを用いた。

不等式bot[195]

問題195 pic.twitter.com/DXp7nQ5DTD— 不等式bot (@Inequalitybot) 2021年10月25日 とおくと、であるから、 (左辺) (右辺) であるから、(右辺)-(左辺)より示された。 対称性を崩さずに示せるのかもしれないが思いつかなかった。

置換積分をする(大学入試問題)

絶対値付き積分のポイントをしっかり押さえよう!肝はどこ?絶対値付き積分~入試良問の旅~ https://t.co/4fmo3JAK9P @YouTubeより— 圏論のあか☆ねこ@数学系Vtuber (@math_neko) 2021年10月21日 求める積分の値をとおく。という置換をすると、. 従って、 .

東大2007年前期理系問題6

これはなかなかの難問ですね…。答が出ない!?どうすりゃいいのよ恐怖の東大入試! https://t.co/r54IIcbI3W @YouTubeより— 圏論のあか☆ねこ@数学系Vtuber (@math_neko) 2021年10月17日 (1) 示すべき不等式は、を満たす実数に対する以下の不等式と同値。 …☆ (☆…

一橋大2017年前期問題3

久々に入試良問の旅シリーズです。京大でも頻出!恒等多項式 https://t.co/x0QS6Y3CFN @YouTubeより— 圏論のあか☆ねこ@数学系Vtuber (@math_neko) 2021年10月11日 nを正整数として。 がx=0, 1, …,(左辺のxの次数)について成立するので、整式は恒等的にに等し…

十の五乗根

mathneko.hatenablog.com…(*)を使って簡単に評価してみる。 (*)の両辺を乗して。両辺を10で割って。 また、(*)の両辺を乗して。両辺に100を掛けて。もっと計算を頑張れば更に厳しい評価が可能であろう。機械的に求めたいならば対数の計算をするのが良い。対…

無理方程式を解く

mathneko.hatenablog.comとおく。であるから、。 これより、との和が7、差が1であるから、。このとき、。 二乗してルートを減らしていけば解けます。「が無理数であることを示せ。」という有名問題のときと同じ変形ですね。 与式をそのまま平方するのが動画…

クザーヌスの近似

以前、というの近似関数を用いて入試問題を解いた。 shaitan.hatenablog.com この近似について少し調べたのでメモ。 クザーヌス 円に内接する正多角形で円周率を近似するのはという近似である。 クザーヌスの方法は、を満たすを求め、より精度の高い近似をし…

東大2003年前期理系問題6(その3)

shaitan.hatenablog.com shaitan.hatenablog.com 飽きもせずまた別解。中学知識で解いてみる。図は数学用のソフトではなくJw_cadで描いた。 図のように半径1、頂角36°の扇形OABを考える。辺AB上に∠ABC=36°を満たす点Cを取る。このとき、△OAB∽△BCAであり、AB=…

東大2003年前期理系問題6(その2)

shaitan.hatenablog.com 逆三角関数の積分表示を用いた解法のまとめ。 のとき、。 最左辺と最右辺のそれぞれの平方根をとってxについて0からまで積分する。 、であるから。 arctanでも同様に、から示すことができる。折れ線で評価する*1よりは簡単だが、の評…

東大2003年前期理系問題6(その1)

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。(03東大) #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2021年7月19日 で定義された関数を考える。 、 、 。 従って、同様に。 よって。 これより。 を用いた解答であるが、この左辺はクザーヌスがの近似関数とし…

整式の割り算

mathneko.hatenablog.comこの「ひたすら計算するだけ」を考える。問題の形にすると以下の通り。 を計算せよ。 ① 、であるから、 (与式) 。 ② 。 (与式)。

北大2010年前期理系問題5

2本の当たりくじを含む102本のくじを、1回に1本ずつ、くじがなくなるまで引き続けることにする。(中略)ABCの3人がABCABCA……の順にこのくじ引きを行うとする。1本目の当たりくじをAが引く確率、Bが引く確率、Cが引く確率をそれぞれ求めよ。(10北大・理…

千葉大2010年前期医学部問題4

1)3^n=k^3+1をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ。2)3^n=k^2-40をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ。(10千葉) #math— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2011年9月30日 (1) k=1は不適。以下、k≧2とする。 であり、よりはで割り切れる。因数定理よ…

東工大2021年前期問題3

問題略 (1) (*)にk=nを代入して整理してを得る。 これを変形すると、よりはn+1の倍数。(2) (1)で示した等式が成立すること、(*)よりn≧kのときであることに注意すると、n≧4のとき 。(3) n≧4のとき、(2)の途中経過よりであるが、の右辺は2n-1より大きい素因数…

京大2021年前期文系問題3

問題略 番号kの箱を単に箱k、操作により箱kから取り出した玉を玉kと書く。 玉1が、その後の一連の操作の全てで取り出されて箱1に戻ってくる確率は。 玉1が箱1に戻ってこない確率はであり、このとき玉1の色は玉nの色の確率分布に影響を与えないため、玉nが赤…