(1)を自然数とする.をとおくとき,を満たすすべての整数について,二項係数は偶数であることを示せ. (2)以下の条件を満たす自然数をすべて求めよ. 条件:を満たすすべての整数について二項係数は奇数である.
(1)
.
よりはで割り切れないのでは偶数.
(2)
自然数について,および(1)の結果よりの偶奇はによらず等しく,であるから全て奇数.よってと書けるは条件を満たす.
また,と書けないとき,適当なをとってが成り立つようにできる.
ここでよりは偶数なのでは条件を満たさない.
以上より求めるは(:自然数).