東大2010年前期理系問題1

3辺の長さがととの直方体を，長さがの1辺を回転軸として90°回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体をとする．
(1)の体積をを用いて表せ．
(2)のとき，の体積のとりうる値の範囲を求めよ．

(1)
長さが $b$ の1辺に垂直な平面で切った図形は，半径 $\sqrt{a^2+c^2}$ ，中心角 $\dfrac\pi2$ の扇型に $a,\ c$ を隣辺とする直角三角形を2つつけたものであるから，面積は $\dfrac\pi4(a^2+c^2)+ac$ ．
従って $V$ の体積は $b\left\{\dfrac\pi4(a^2+c^2)+ac\right\}$ .
(2)
$a+c=x,\ |a-c|=y$ とおくと $0\leq y< x<1$ であり，体積 $W(x,y)$ は $W(x,y)=(1-x)\left\{\dfrac\pi8(x^2+y^2)+\dfrac{x^2-y^2}4\right\}$ ．
$\pi>2$ より $y^2$ の係数は正であるから $W(x,y)< W(x,x)$ ．
相乗平均≦相加平均の関係より， $W(x,x)=\pi(1-x)\left(\dfrac x2\right)^2\leq\pi\left\{\dfrac{(1-x)+\frac x2+\frac x2}3\right\}^3=\dfrac\pi{27}$ であり，等号成立は $x=\dfrac23$ ．
$W(x,y)$ は体積であり0でないことと合わせて $0< W(x,y)<\dfrac\pi{27}$ …☆が必要．
ここで， $W(x,y)$ は $x,\ y$ に関して連続であり， $W(0,0)=0,\ W(\frac23, \frac23)=\frac\pi{27}$ であるから $W(x,y)$ は☆の範囲の任意の値をとりうる．

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東大2010年前期理系問題1