箱ティッシュの最初に二組取れちゃうのがなんだかもったいない

(16) n^m=m^n (m、nは自然数)を満たすm、nの組み合わせを求めよ。

— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2015, 12月 10

m=nは明らか。以下、m< nとする。
x>0でとおく。f(n)=f(m)となる(m,n)を求めればよい。
であるから、
f(x)はx< eで単調増加、x>eで単調減少。
従って、f(m)=f(n)であるためにはm< e< nが必要。
このとき、f(n)>n^0=1=f(1)より、m=2。
よって、n^2=2^nなるn(>e)を求めれば良い。
n=4はこの条件を満たす。
x>eでf(x)は単調減少なので、f(n)=f(2)を満たすn>eは高々一つであるから他のnは条件を満たさない。
m>nも同様であるから、以上をまとめて求めるm,nの組み合わせは(m,n)=(2,4)(4,2)(k,k) (kは任意の自然数)。