東工大11年AO II-1 - shaitan's blog

f(x^2＋1)={f(x)}^2＋1を満たすn次の多項式f(x)が存在するような自然数nを全て求めよ。（１１東工大ＡＯ） #数学
— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2017年4月29日

$g(x)=x^2+1$ とおくと、題意の条件は $f\circ g(x)=g\circ f(x)$ と書ける。
また、 $g(x)-x=(x+\frac12)^2+\frac14>0$ より $g(x)>x$ ……(*)。
$g_0(x)=x, g_{k+1}(x)=g(g_k(x))$ とおくと $g_k(x)$ は条件を満たす $2^k$ 次の多項式である。
以下、 $2^k (k=0,1,\ldots)$ 次でない $f(x)$ が存在しないことを示す。

$0=f(g(x))-f(g(-x))=(f(x)-f(-x))(f(x)+f(-x))$ であるが、 $f(x)\pm f(-x)$ は多項式であるからいずれか一方は恒等的に0である。
つまり、 $f(x)$ は $n$ の偶奇により偶関数か奇関数かのいずれかとなる。

(i) $f(x)$ が奇関数のとき
$f(0)=0$ であるから、 $f(g_k(0))=g_k(f(0))=g_k(0)$ となる。
ここで(*)より $g_k(0)$ の値は異なる $k$ に対し相異なる。
従って、恒等的に $f(x)=x$ であり、 $n=1=2^0$ である。

(ii) $f(x)$ が偶関数のとき
(*)より $f(x)$ は定数関数ではないので $n>1$ 。
$f(x)$ は $x^2=g(x)-1$ の多項式として表せる。つまり $g(x)$ の多項式として表せる。
$f(x)=h\circ g(x)$ とおくと $h(x)$ は $\frac n2$ 次の多項式であり、
$f(x)$ の満たす条件に代入して $h\circ g\circ g(x)=g\circ h\circ g(x)$ であるが、 $g(x)$ は1以上の任意の値をとるので恒等的に $h\circ g(x)=g\circ h(x)$ 。
となるのでこれを繰り返すと条件を満たす奇数次の多項式が得られるが、(i)よりそれは恒等関数であるため $n$ は $2^k$ と書ける。