shaitan's blog

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ΣΣΣ積分ΣΣΣbot[1][2]

ΣΣΣ積分ΣΣΣbot 箱庭数学



[1]は有名なFresnel積分（値は\frac12\sqrt{\frac\pi2}）であり、それと同様に[2] を求める。以下、[2]の解答。
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R>0とする。0とR、0とR\exp\left(\dfrac{i\pi}{2t}\right)をそれぞれ結ぶ線分で挟まれ、第一象限にある扇形の閉路Cを考える。
f(z)=\exp(-z^t)は正則であるからCに沿った積分の値は0となる。従って、
\displaystyle\int_0^Rf\left(x\exp\left(\dfrac{i\pi}{2t}\right)\right)\exp\left(\dfrac{i\pi}{2t}\right)dx=\int_0^Rf(x)dx+\int_0^{\frac{\pi}{2t}}f(Re^{i\theta})iRe^{i\theta}d\theta.
(左辺)\to\displaystyle\exp\left(\dfrac{i\pi}{2t}\right)\int_0^\infty(\cos x^t-i\sin x^t)dx\quad(R\to\infty)であり、
(右辺第一項)\to\displaystyle\int_0^\infty\exp(-x^t)dx=\frac1t\int_0^\infty y^{\frac1t-1}\exp(-y)dy=\frac1t\Gamma\left(\frac1t\right).
(右辺第二項)\leq\displaystyle R\int_0^{\frac{\pi}{2t}}\exp(-R^t\cos(t\theta))d\theta< \dfrac{2tR}\pi\int_0^1\exp(-R^ty)dy
\displaystyle=\dfrac{2t}{\pi R^{t-1}}\biggl[\exp(-R^ty)\biggr]_0^R\to0
以上より、\displaystyle\int_0^\infty{\sin\atop\cos} x^t={\sin\atop\cos}\left(\dfrac{\pi}{2t}\right)\dfrac1t\Gamma\left(\frac1t\right).