津田塾大学1984年 - shaitan's blog

sin 50° の評価についての問題です。#津田塾大学 pic.twitter.com/uiMWK0DXEg
— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2019年12月1日

$\dfrac1{\sqrt2}=\sin45^\circ<\sin50^\circ=\sin45^\circ\cos5^\circ+\cos45^\circ\sin5^\circ<\dfrac1{\sqrt2}\left(1+\dfrac{\pi}{36}\right)$
ここで $\sqrt2>1, \pi<3.6$ より $\dfrac1{\sqrt2}\cdot\dfrac{\pi}{36}<\dfrac11\cdot\dfrac{1}{10}=0.1$ であるから、
$(a,b)=\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\left(1+\dfrac{\pi}{36}\right)\right)$ は条件を満たす。

三倍角の公式より $-4\sin^350^\circ+3\sin50^\circ=\sin150^\circ=\dfrac12$ であるから、
$f(x)=-8x^3+6x-1$ とおくと、 $f(\sin50^\circ)=0$ である。
三倍角の公式より $f(\sin10^\circ)=f(\sin250^\circ)=0$ も成立し、 $\sin250^\circ<\sin10^\circ<\sin50^\circ$ である。
ここで、 $f(-1)=1>0, f(0)=-1<0$ ,
$f\left(\dfrac34\right)=-\dfrac{27}{8}+\dfrac{36}{8}-1=\dfrac18>0$ ,
$f\left(\dfrac45\right)=-\dfrac{512}{125}+\dfrac{600}{125}-1<0$
であるから、中間値の定理および三次方程式の解は高々3個であることより
$-1<\sin250^\circ<0<\sin10^\circ<\dfrac34<\sin50^\circ<\dfrac45$
$\dfrac45-\dfrac34=\dfrac1{20}<0.1$ より、 $(a,b)=\left(\dfrac34,\dfrac45\right)$ は条件を満たす。

二つ目は与えられた数値を使わない解答である。