shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東大2009年前期理系問題2

箱庭数学

実数を成分にもつ行列A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}と実数r, sが下の条件(i), (ii), (iii)をみたすとする。
(i) s>1
(ii) A\displaystyle\binom{r}1=s\binom{r}1
(iii)A^n\displaystyle\binom10=\binom{x_n}{y_n}とするとき、\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=0
このとき以下の問に答えよ。
(1),(2) 略
(3) c=0かつ|a|<1を示せ。

(1),(2) 略
(3)
\displaystyle\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=A^n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\binom10=A^n\left[c\binom{r}1+(a-cr)\binom10\right]
\displaystyle=cs^n\binom{r}1+(a-cr)\binom{x_{n}}{y_{n}}
ここで\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=0より\displaystyle\lim_{n\to\infty}cs^n=0であるが、 s>1なのでc=0である。
このとき、x_{n+1}=ax_n, x_1=aよりx_n=a^nであるが、\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0より|a|<1となる。