shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東大1995年前期理系問題1

箱庭数学

すべての正の実数x, yに対し
\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{2x+y}
が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

Cauchy–Schwarzの不等式より、
\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\leq\left(\sqrt{2x}^2+\sqrt{y}^2\right)\left[\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^2+1^2\right]=\dfrac32(2x+y)
であるから、両辺の平方根をとって\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq\dfrac{\sqrt6}2\cdot\sqrt{2x+y}となる。
したがって、\dfrac{\sqrt6}2\leq kならばすべての正の実数x, yに対し与不等式が成立する。
ここで、与不等式にx=1, y=4を代入すると\dfrac{\sqrt6}2\leq kより、\dfrac{\sqrt6}2\leq kでなければすべての正の実数x, yに対し与不等式が成立しない。
よって求める最小値は\dfrac{\sqrt6}2である。