東大1994年前期理系問題2

$a=\sin^2\dfrac\pi5, b=\sin^2\dfrac{2\pi}5$ とおく。このとき、以下のことが成り立つことを示せ。
(1) $a+b$ および $ab$ は有理数である。
(2)任意の自然数 $n$ に対し、 $\left(a^{-n}+b^{-n}\right)(a+b)^n$ は整数である。

(1)
$b=4\sin^2\dfrac\pi5\cos^2\dfrac\pi5=4a(1-a)$ であり、
$\sin\dfrac\pi5=\sin\dfrac{4\pi}5$ に注意すると同様に $a=4b(1-b)$ 。
それぞれの式の差をとって $b-a=4(a-b)-4(a^2-b^2)$ であるが、 $a\neq b$ より両辺 $a-b$ で割って整理すると $a+b=\dfrac54$ 。
また、それぞれの式の和をとって $a+b=4(a+b)-4(a^2+b^2)=4(a+b)-4(a+b)^2+8ab$ であるから $ab=\dfrac5{16}$ となる。
これらはいずれも有理数である。
(2)
$c_n=\left(a^{-n}+b^{-n}\right)(a+b)^n$ とおく。
$c_n=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)^n=(4a)^n+(4b)^n$ である。
(1)より $4a+4b=5, 4a\cdot4b=5$ であるから、 $x=4a,4b$ を解とする二次方程式は $x^2-5x+5=0$ である。
$x=4a$ を代入して両辺に $(4a)^n$ をかけると $(4a)^{n+2}-5(4a)^{n+1}+5(4a)^n=0$ であり、 $4b$ についても同様にして和をとると $c_{n+2}-5c_{n+1}+5c_n=0$ となる。これより、 $c_n, c_{n+1}$ が整数なら $c_{n+2}$ も整数である。ここで、 $c_0=2, c_1=5$ が整数なので任意の自然数 $n$ に対し $c_n$ は整数である。

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東大1994年前期理系問題2