東大1984年前期理系問題3

2以上の自然数 $k$ に対して $f_k(x)=x^k-kx+k-1$ とおく。このとき、次のことを証明せよ。
i) n次多項式 $g(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れるためには、 $g(x)$ が定数 $a_2,\ldots, a_n$ を用いて $g(x)=\displaystyle\sum_{k=2}^na_kf_k(x)$ の形で表されることが必要十分である。
ii) n次多項式 $g(x)$ が $(x-1)^3$ で割り切れるためには、 $g(x)$ が関係式 $\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{k(k-1)}2a_k=0$ をみたす定数 $a_2,\ldots, a_n$ を用いて $g(x)=\displaystyle\sum_{k=2}^na_kf_k(x)$ の形で表されることが必要十分である。

$f_k(x)=\left\{(x-1)+1\right\}^k-k(x-1)-1=\displaystyle\sum_{j=2}^k\binom{k}j(x-1)^j$ であるから、 $f_k(x)$ は $(x-1)^2$ で割り切れ、 $(x-1)^3$ で割った余りは $\displaystyle\binom{k}2(x-1)^2$ である。
$g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k$ とおく。 $g(x)$ と $\displaystyle\sum_{k=2}^na_kf_k(x)$ の二次以上の項は同じなので $g(x)=\displaystyle\sum_{k=2}^na_kf_k(x)+b(x-1)+c$ と書ける。
i)
$g(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れる
⇔ $g(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが0
⇔ $b(x-1)+c=0$ が恒等的に成り立つ
⇔ $b=c=0$
⇔ $g(x)=\displaystyle\sum_{k=2}^na_kf_k(x)$

ii)
$g(x)$ が $(x-1)^3$ で割り切れる
⇔ $g(x)$ を $(x-1)^3$ で割った余りが0
⇔ $\displaystyle\sum_{k=2}^na_k\binom{k}2(x-1)^2+b(x-1)+c=0$ が恒等的に成り立つ
⇔ $\displaystyle\sum_{k=2}^n\binom{k}2a_k=b=c=0$
⇔ $\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{k(k-1)}2a_k=0$ かつ $g(x)=\displaystyle\sum_{k=2}^na_kf_k(x)$

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東大1984年前期理系問題3