shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大1989年前期理系問題2

箱庭数学

n個(n≧3)の実数a_1, a_2,\ldots,a_nがあり、各a_iは他のn-1個の相加平均より大きくないという。
このようなa_1, a_2,\ldots,a_nの組をすべて求めよ。

S=\displaystyle\sum_{i=1}^na_iとおく。
条件は任意のiに対し a_i\leq\dfrac{S-a_i}{n-1} ⇔ a_i\leq\dfrac{S}n…(*)
iについて1からnまでの和をとるとS\leq n\cdot\dfrac{S}n=Sより等号成立するから、すべてのiについて(*)の等号が成立する。
つまり、a_i=a (aは任意の定数)が必要。逆にこのとき、S=naなので(*)が成立する。
よって求める組はa_i=a (i=1,2,...,n, aは任意の定数)。