京大2006年後期理系問題1

1次式 $A(x), B(x), C(x)$ に対して $\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$ が成り立つとする。このとき $A(x)$ と $B(x)$ はともに $C(x)$ の定数倍であることを示せ。

$\{A(x)\}^2=\{C(x)+B(x)\}\{C(x)-B(x)\}$ であり、左辺は2次式なので $C(x)\pm B(x)$ はいずれも1次式。 $\{A(x)\}^2$ が $C(x)\pm B(x)$ で割り切れるので、 $A(x)$ は $C(x)\pm B(x)$ で割り切れる。つまり $A(x)=a_\pm\{C(x)\pm B(x)\}$ （ $a_\pm$ は定数）とおけるが、このとき $A(x)=\dfrac{a_++a_-}2C(x)$ 。 $B(x)$ についても同様。