shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

阪大2013年前期理系問題5

箱庭数学

nを3以上の整数とする。n個の球K_1,K_2,\ldots,K_nとn個の空（から）の箱H_1,H_2,\ldots,H_nがある。以下のように、K_1,K_2,\ldots,K_nの順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球K_1を箱H_1,H_2,\ldots,H_nのどれか1つに無作為に入れる。次に、球K_2を、箱H_2が空ならば箱H_2に入れ、箱H_2が空でなければ残りのn-1個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、i=2,3,\ldots,nについて、球K_iを、箱H_iが空ならば箱H_iに入れ、箱H_iが空でなければ残りのn-i+1個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
(1) K_nが入（はい）る箱はH_1またはH_nである。これを証明せよ。
(2) K_{n-1}がH_{n-1}に入る確率を求めよ。

(1)
K_i (2≦i≦n-1)を入れるときにH_iが空ならばそこにK_iを入れるので、K_iを入れる操作の後はH_iは空ではない。
よって、K_nを入れるとき、H_2,\ldots,H_{n-1}は空でないからH_1またはH_nに入る。
(2)
(1)と同様にK_{n-1}を入れるとき、空の可能性のある箱はH_1, H_{n-1}, H_nであり、このうち2つが空である。K_{n-2}までの球を入れる操作でこれら3つの箱は区別しないので、どの箱が空である可能性も等しく、\dfrac23である。求める確率はこのときにH_{n-1}が空である確率なので\dfrac23となる。