shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

阪大1992年前期理系問題3

箱庭数学

2以上の自然数nに対して、不等式
\dfrac1{2^3}+\dfrac1{3^3}+\dfrac1{4^3}+\cdots\dfrac1{n^3}<\dfrac14
が成り立つことを示せ。

(左辺)=\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac1{k^3}<\sum_{k=2}^n\dfrac1{k^3-k}=\sum_{k=2}^n\dfrac1{(k-1)k(k+1)}
\displaystyle=\dfrac12\sum_{k=2}^n\left[\dfrac1{(k-1)k}-\dfrac1{k(k+1)}\right]=\dfrac12\left[\dfrac12-\dfrac1{n(n+1)}\right]<\dfrac14