学習院大2020 - shaitan's blog

学習院大の問題です。

とてもとても基本的な問題です。この問題の解き方はいろいろ考えられますが、どういう解き方をするのかで、その人の様々なことが分かると思います。

複素数平面が苦手な人は、ぜひいろいろな解き方を試してみてください。#2020年度 #大学入試 #学習院大学 pic.twitter.com/iMGWX33oRr
— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年3月30日

$z$ の実部を $x$ 、虚部を $y$ とおく。
$\dfrac{z-1}z=1-\dfrac1z=1-\dfrac{\bar{z}}{|z|^2}=1-4\bar{z}=1-4x+4yi$ の偏角が $\dfrac\pi2$ であることより $x=\dfrac14$ 、 $y>0$ である。
これより $y=\sqrt{|z|^2-x^2}=\dfrac{\sqrt3}4$ となる。