shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

一橋大2020後期


(1)
2^a-1=(2^b-1)\{2^{a-b}+2^{a-2b}+\cdots+1\}より示された。

(2)
1< b< aを満たす任意の整数bを考える。
1<2^b-1<2^a-1であるが、2^a-1素数なので2^a-12^b-1の倍数でない。よって(1)の対偶よりabの倍数ではないからa合成数ではない。
ここで、2^a-1素数なのでa\neq1だからa素数

(3)
2^a=16a^2+10a+2>16=2^4よりa>4
これより2^aは16の倍数なので、10a+2は16の倍数。
よって5a+1は8の倍数だから5(5a+1)=8\cdot3a+a+5も8の倍数。
従ってaは8で割ると3余る数である。
(i)a=11のとき
2^a-1=2047=23\cdot89=(2a+1)(8a+1)となる。
(ii)a\geq19のとき
n=\dfrac{a+1}2とおくとn\geq10
2^{2n}=2\cdot2^a=32a^2+20a+4<36a^2より2^n<6(2n-1)<12nとなるが、2^n>\displaystyle\binom{n}{3}=\dfrac{n(n-1)(n-2)}6\geq12nより不適。

(i)(ii)より求めるaは11である。



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