shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

新潟大2020前期（理医歯工）問題3

箱庭数学

2020 新潟大学 前期MathJax
(1)
各位の数をa_1,a_2,\ldots,a_nとする。
\displaystyle\prod_{k=1}^n(\pm1)^{a_k}は各位の数の合計が奇数のとき\pm1（複号同順）、偶数のとき1であるから、
y_n\pm x_n=\displaystyle\sum_{1\leq a_m\leq3\atop (m=1,\ldots,n)}\prod_{k=1}^n(\pm1)^{a_k}=\prod_{k=1}^n\sum_{a_k=1}^3(\pm1)^{a_k}=(1\pm2)^n。
つまりy_n+x_n=3^n, y_n-x_n=(-1)^n, y_n=\dfrac{3^n+(-1)^n}2。

(2)
\displaystyle\prod_{k=1}^ni^{a_k}は各位の数の合計が奇数のときに純虚数、4の倍数のときに1、それ以外で-1であるから、
2z_n-y_n=\mathrm{Re}\displaystyle\sum_{1\leq a_m\leq3\atop (m=1,\ldots,n)}\prod_{k=1}^ni^{a_k}=\mathrm{Re}\prod_{k=1}^n\sum_{a_k=1}^3i^{a_k}=(-1)^n。
従ってz_n=\dfrac{(2z_n-y_n)+y_n}2=\dfrac{3^n+3(-1)^n}4。

(3)
\left(-\dfrac13\right)^n\left(\dfrac{z_n}{y_n}-\dfrac12\right)^{-1}=1+\left(-\dfrac13\right)^nはn\to\inftyで1に収束する。これを\left\{d_n\right\}とおく。\left\{d_n^{-1}\right\}も1に収束する数列なので、与えられた条件は数列\left\{d_nc_n\left(\dfrac{z_n}{y_n}-\dfrac12\right)\right\}が0でない値に収束することと同値。
c_n=c_1r^{n-1}とおくと、d_nc_n\left(\dfrac{z_n}{y_n}-\dfrac12\right)=c_1\left(-\dfrac{r}3\right)^{n-1}となるので、これが0でない値に収束することはr=-3と同値。
よって求める公比は-3。