東京理科大2020 - shaitan's blog

東京理科大の問題です。

様々な分野の様々な基本事項・重要事項の確認ができる問題かと思います。ぜひ試してみてください。#2020年度 #大学入試 #東京理科大学 pic.twitter.com/VUEzUpDAjc
— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年5月16日

(1)
$y'=(\sin^3x)'=3\cos x\sin^2x$ である。

(2)
$(\sin^{n+1}x)'=(n+1)\cos x\sin^nx$ の両辺を $x$ について $0$ から $\dfrac\pi2$ まで積分して $1=(n+1)I_{1,n}$ より示された。

(3)
p=1のとき(2)の結果より成立する。
$(\cos^{2p}x\sin^{n+1}x)'=-2p\cos^{2p-1}\sin^{n+2}x+(n+1)\cos^{2p+1}\sin^nx$ の両辺を $x$ について $0$ から $\dfrac\pi2$ まで積分して整理すると $I_{2p+1,n}=\dfrac{2p}{n+1}I_{2p-1,n+2}$ であるから、あるpについての成立を仮定するとp+1についても成立するので示された。

(4) 略

(5)
$x$ を $\dfrac\pi2-x$ に置換すると $I_{m,n}=I_{n,m}$ となる。
$k< l\leq\dfrac{n}2$ のとき、
$2(I_{k,n-k}-I_{l,n-l})=I_{k,n-k}+I_{n-k,k}-I_{l,n-l}-I_{n-l,l}$
$=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}(\sin^{l-k}x-\cos^{l-k}x)(\sin^{n-l-k}x-\cos^{n-l-k}x)\sin^kx\cos^kxdx$
であるが、右辺の被積分関数は積分区間において非負であり、積分区間内の有限の区間で正の値をとるから右辺は正。よって $I_{k,n-k}>I_{l,n-l}$ となる。
以上より、 $q<12$ のとき $J_{25-q}=J_q>J_{12}=J_{13}$ となるので、求めるqは12と13。