名古屋大1980年前期理系問題3(b)

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— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年12月4日

2数の比は $r=\dfrac{(0.99)^{99}}{(1.01)^{-101}}=(0.9999)^{100}\cdot\dfrac{101}{99}=\dfrac{101}{99}\displaystyle\sum_{n=0}^{100}\binom{100}n\left(-\dfrac1{10000}\right)^n$ 。
ここで、
$\displaystyle\binom{100}{2k}\left(-\dfrac1{10000}\right)^{2k}+\binom{100}{2k+1}\left(-\dfrac1{10000}\right)^{2k+1}$
$=\displaystyle\binom{100}{2k}\left(\dfrac1{10000}\right)^{2k}\left(1-\dfrac{100-2k}{2k-1}\cdot\dfrac1{10000}\right)>0$ であるから、
$r>\dfrac{101}{99}\displaystyle\sum_{n=0}^{1}\binom{100}n\left(-\dfrac1{10000}\right)^n=\dfrac{101}{99}\left(1-\dfrac1{100}\right)=\dfrac{101}{100}>1$ 。
従って $(0.99)^{99}>(1.01)^{-101}$ である。