shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東工大1984年前期問題1

箱庭数学


aとbの最大公約数をgとし、x=\dfrac{a}g, y=\dfrac{b}g, s=x+y, t=x^2-xy+y^2とおく。
a^3+b^3=g^3stが素数の整数乗ならばg, s, tはいずれも同じ素数の整数乗。
(i)x=yのとき
x=y=1よりs=2であるからg=2^n(nは非負整数)。
(ii)x≠yのとき
x>yならばt=x(x-y)+y^2\geq x+y=sであり、y>xのときも同様。
s, tはいずれも同じ素数の整数乗であるから、tはsで割り切れる。
t=s^2-3xyであるから、3xyはsで割り切れるが、sとx, yは互いに素なので3がsで割り切れる。
sは1ではないからs=3。よって(x, y)=(1, 2), (2, 1), g=3^n(nは非負整数)。

(i),(ii)より
(a ,b)=(2^n, 2^n), (3^n, 2\cdot3^n), (2\cdot3^n, 3^n)(nは非負整数)。