shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東工大2021年前期問題3

問題略

\displaystyle{}_{2n}\mathrm{C}_k=\frac{(2n)!}{k!(2n-k)!}=\frac{2n-k+1}k\cdot\frac{(2n)!}{(k-1)!(2n-k+1)!}
\displaystyle=\frac{2n-k+1}k\displaystyle{}_{2n}\mathrm{C}_{k-1}\quad\cdots(\ast)

(1)
(*)にk=nを代入して整理して\displaystyle n{}_{2n}\mathrm{C}_n=(n+1){}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}を得る。
これを変形すると、{}_{2n}\mathrm{C}_n=(n+1)({}_{2n}\mathrm{C}_n-{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1})より{}_{2n}\mathrm{C}_nはn+1の倍数。

(2)
(1)で示した等式が成立すること、(*)よりn≧kのとき\displaystyle{}_{2n}\mathrm{C}_k>{}_{2n}\mathrm{C}_{k-1}であることに注意すると、n≧4のとき
a_n=\dfrac{{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}}n>\dfrac{{} _{2n}\mathrm{C}_2}n=2n-1>n+2

(3)
n≧4のとき、(2)の途中経過よりa_n>2n-1であるが、n!\cdot a_n=2n(2n-1)\cdots(n+2)の右辺は2n-1より大きい素因数を持たないのでa_n素数ではない。
a_1=1, a_2=2, a_3=5より、求めるnはn=2, 3。



(2)のn+2は何を意図したものかよく分からなかった。