1)3^n=k^3+1をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ。2)3^n=k^2-40をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ。(10千葉) #math
— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2011年9月30日
(1)
k=1は不適。以下、k≧2とする。
であり、よりはで割り切れる。因数定理よりがで割り切れるのでk=2。このときn=2である。
(2)
よりnは偶数。n=2mとおくと、。ここで、は偶奇が同じことに注意して、。つまり。
(1)って84年東工大(東工大1984年前期問題1 - shaitan's blog)の特殊な場合ですね。
受験数学ではmod 3が人気ですが、たまにはmod 4のことも思い出してあげてください。