東大2003年前期理系問題6（その1）

円周率が３．０５より大きいことを証明せよ。（０３東大） #数学
— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2021年7月19日

$0\leq x\leq\pi$ で定義された関数 $f(x)=(2+\cos x)x-3\sin x$ を考える。
$f'(x)=2+\cos x -x\sin x -3\cos x=2-2\cos x -x\sin x$ 、
$f''(x)=2\sin x -\sin x -x\cos x=\sin x-x\cos x$ 、
$f'''(x)=\cos x-\cos x +x\sin x=x\sin x\geq0$ 。
従って $f''(x)\geq f''(0)=0$ 、同様に $f'(x)\geq f'(x)=0$ 。
よって $0=f(0)\leq f\left(\dfrac\pi3\right)=\dfrac52\cdot\dfrac\pi3-\dfrac{3\sqrt3}2$ 。
これより $\pi\geq\dfrac{9\sqrt3}5>1.8\sqrt{2.89}=1.8\cdot1.7=3.06>3.05$ 。

$\dfrac{3\sin\theta}{2+\cos\theta}<\theta$ を用いた解答であるが、この左辺はクザーヌスが $\theta$ の近似関数としている。また、スネルはこの不等式を用いて $\pi$ を計算した（不等式の厳密な証明はホイヘンスによる）。*1

私の知る限りで最も初等的な解法は次のものである。
tsujimotter.hatenablog.com
解答も面白いし、その背景も面白い。
ただし、弧ABが線分AQより長いというのは説明が必要であろう。（文字は知恵袋の図に準ずる。この図ではBとQが一致して描かれていることに注意。）
線分ABが線分AQより長いことを言えばよい。 $\text{OQ}=12\sqrt2>\dfrac{17\sqrt2}2$ であるから、∠CQA> $\pi$ より∠OQAは鋭角。よって∠AQBは鈍角であるからABは△ABQで最も長い辺である。従ってAB>AQ。

数字の計算をなるべく簡単にしようとするとマチンの公式を使うのがよいか。
nuc.hatenadiary.orgarctanのテーラー展開は解答に書く必要はなく、 $x-\dfrac{x^3}3< \arctan x< x$ という評価だけでよい。右側は $\theta<\tan\theta$ から、左側は $\theta-\tan\theta+\dfrac{\tan^3\theta}3$ が単調増加（微分すると $\tan^4\theta\geq0$ となる）より $\theta>\tan\theta+\dfrac{\tan^3\theta}3$ となることから導かれる。
$\pi>4\left(4\arctan\dfrac15-\arctan\dfrac1{239}\right)>\dfrac{16}5-\dfrac{16}{3\cdot5^3}-\dfrac4{239}>3.05$ 。