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置換積分をする（大学入試問題）

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求める積分の値をIとおく。y=\pi-xという置換をすると、I=-\displaystyle\int_\pi^0|\pi-y||\sin3(\pi-y)|\mathrm{d}y=\int_0^\pi|\pi-y||\sin3y|\mathrm{d}y.
従って、
I=\dfrac12\displaystyle\int_0^\pi(|x|+|\pi-x|)|\sin3x|\mathrm{d}x=\frac\pi2\int_0^\pi|\sin3x|\mathrm{d}x
=\displaystyle\frac\pi2\int_0^{\frac\pi3}\left[\left|\sin3x\right|+\left|\sin3\left(x+\dfrac\pi3\right)\right|+\left|\sin3\left(x+\dfrac{2\pi}3\right)\right|\right]\mathrm{d}x
=\dfrac\pi2\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}3\sin3x\mathrm{d}x=\frac\pi2\biggl[-\cos3x\biggr]_0^{\frac\pi3}=\pi.