shaitan's blog

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東大1995年前期理系問題2

数学問題bot 箱庭数学


y>0としてよい。
平均値の定理より、
g(x+y)+g(x-y)-2g(x)=yg'(\alpha)-yg'(\beta)=y(\alpha-\beta)g''(\gamma) を満たす\beta<\gamma<\alphaが存在する。
よって、g''(x)\geq0を示せば十分である。
g(x)=x\displaystyle\int_0^xf(t)dt-\int_0^xtf(t)dtであるから、g'(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)dt、
g''(x)=f(x)\geq0より示された。