shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東大1993年後期問題2

箱庭数学 数学問題bot


(1)
\triangle\mathrm{ABC}の重心を\mathrm{G}とする。点\mathrm{O}を直線l上に取り、lの単位法線ベクトル\vec pを取る。
d(l,\mathrm{A})^2=\left(\vec{p}\cdot\vec{\mathrm{OA}}\right)^2=\left(\vec{p}\cdot\vec{\mathrm{OG}}\right)^2+2\left(\vec{p}\cdot\vec{\mathrm{OG}}\right)\left(\vec{p}\cdot\vec{\mathrm{GA}}\right)+\left(\vec{p}\cdot\vec{\mathrm{GA}}\right)^2であり、\mathrm B,\ \mathrm Cも同様。\vec{\mathrm{GA}}+\vec{\mathrm{GB}}+\vec{\mathrm{GC}}=\vec{0}に注意すると、f(l)=3\left(\vec{p}\cdot\vec{\mathrm{OG}}\right)^2+\left(\vec{p}\cdot\vec{\mathrm{GA}}\right)^2+\left(\vec{p}\cdot\vec{\mathrm{GB}}\right)^2+\left(\vec{p}\cdot\vec{\mathrm{GC}}\right)^2となる。ここで、lの傾きを固定すると右辺第一項以外は定数となるから、f(l)が最小となるとき、\vec p\cdot\vec{\mathrm{OG}}=0すなわち\mathrm{G}がl上にある。

(2)
(1)の結果より、lとして\mathrm Gを通るものだけ考える。
点\mathrm D,\ \mathrm Eを\triangle{\mathrm{ADE}}が重心が\mathrm{G}である正三角形となるようにとる。\vec{\mathrm{GA}}+\vec{\mathrm{GB}}+\vec{\mathrm{GC}}=\vec{\mathrm{GA}}+\vec{\mathrm{GD}}+\vec{\mathrm{GE}}より\vec{\mathrm{DB}}=\vec{\mathrm{CE}}である。
f(l)=\left(\vec p\cdot\vec{\mathrm{GA}}\right)^2+\left\{\vec p\cdot\left(\vec{\mathrm{GD}}+\vec{\mathrm{DB}}\right)\right\}^2+\left\{\vec p\cdot\left(\vec{\mathrm{GE}}+\vec{\mathrm{EC}}\right)\right\}^2
=\left\{\left(\vec p\cdot\vec{\mathrm{GA}}\right)^2+\left(\vec p\cdot\vec{\mathrm{GD}}\right)^2+\left(\vec p\cdot\vec{\mathrm{GE}}\right)^2\right\}+2\left(\vec p\cdot\vec{\mathrm{DB}}\right)\left(\vec p\cdot\vec{\mathrm{EB}}\right)
まず、\{\ \}内を計算する。\vec pと\vec{\mathrm{GA}}のなす角を\phi（0\leq\phi<2\pi）とすると、\mathrm{GA}=\mathrm{GB}=\mathrm{GC}より、\left(\{\ \}\text{内}\right)=\mathrm{GA}^2\left\{\cos^2\phi+\cos^2\left(\phi+\dfrac{2\pi}3\right)+\cos^2\left(\phi+\dfrac{4\pi}3\right)\right\}
=\dfrac{\mathrm{GA}^2}2\left\{3+\cos2\phi+\cos\left(2\phi+\dfrac{4\pi}3\right)+\cos\left(2\phi+\dfrac{8\pi}3\right)\right\}
=\dfrac32\mathrm{GA}^2 となり、\phiに依存しない。
よって\vec pと\vec{\mathrm{DB}}のなす角を\theta（0\leq\theta<2\pi）として、f(l)=2\mathrm{DB}\cdot\mathrm{EB}\cos\theta\cos(\theta+\alpha)+\text{const.}と書ける（\alphaは定数）。\cos\theta\cos(\theta+\alpha)=\dfrac12\left\{\cos(2\theta+\alpha)+\cos\alpha\right\}であるから、\mathrm{DB}\cdot\mathrm{EB}\neq0のとき、f(l)を最小とする\thetaは高々2つしか存在せず、問題の条件に合わない。従って\mathrm Bは\mathrm Dないし\mathrm Eと一致する。このとき\mathrm Cはそれぞれ\mathrm E、\mathrm Dと一致するので、\triangle\mathrm{ABC}は正三角形となる。


数学問題botでは(1)が省略されているが、素直に誘導に乗ってみた。