任意の自然数に対して，常に不等式 が成立するような最大の整数を求めよ。 与えられた不等式の左辺をA(n)とおく。 である。 ここで、であるから、 . また、であるから、 . 以上より、求める整数である。

数列を次のように定める。 (1)がnによらないことを示せ。 (2)すべてのに対し、をのみを使って表せ。 (3)数列を次のように定める。 すべてのに対し、を示せ。 (1) すべてのに対しであるから、 となりnによらない。 (2) (1)の途中式よりすべてのに対し である…

を自然対数の底，すなわちとする。 すべての正の実数に対し，次の不等式が成り立つことを示せ。 補題「数列が単調増加でのとき、」を示す。 1より大きい任意のnに対しなので。ここで、を考える。 よりは単調増加。 さらにであるから、補題より。 また、、と…