shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

不等式bot

不等式bot問題172

問題172 pic.twitter.com/nCtufywOJQ— 不等式bot (@Inequalitybot) 2020年11月21日 とにCauchy–Schwarzでより。 とにCauchy–Schwarzでであるから。 Titu's Lemmaを使って 。 はもっと簡単に示せそうな気がする。

不等式bot[31]

[31]☆6pic.twitter.com/1cr2R2uT6t— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月29日 とおく。k>0で考える(この範囲で最大のkがあればそれが求めるkである) AM-GM不等式より (b=cのとき等号成立)なので したがって、kがを満たすことが必要十分。 ここで条件…

不等式bot[158]

[158]aa/b+bb/c+cc/a≧3(aa+bb+cc)☆5pic.twitter.com/GdAArNQwk2— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月22日 であるから、 より示すべき不等式を得る。

不等式bot[86]

☆3pic.twitter.com/kloLuArI1l— 不等式bot (@Inequalitybot) November 21, 2019 x=a+b, y=b+c, z=c+aとおくと、 より示された。

不等式bot[50]

[50]☆4pic.twitter.com/XfbwoWMibg— 不等式bot (@Inequalitybot) November 21, 2019 a≧b≧cとしてよく、このときa≧1≧cであるから、

不等式bot[71]

☆1pic.twitter.com/0JCw7hput8— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月21日 同様にである。 また、 であるから。 これらの式を加えて示すべき不等式を得る。平方完成するのも2変数のAM-GMも同じことだが、前者はイコールで繋げるので変形を省略しやすい(気…

不等式bot[82]

☆5pic.twitter.com/nbJtEyDxKj— 不等式bot (@Inequalitybot) November 20, 2019 条件A(m,n)をとする。 であるから、 A(m,n)⇒A(m-1,n)であり、同様にA(m,n)⇒A(m,n-1)となる。 これを繰り返し適用すると、A(m,n)⇒A(k,l) (m≧k, n≧l)が言える。 条件よりA(2011,2…

不等式bot[49]

[49]☆4pic.twitter.com/Qtm757O0V0— 不等式bot (@Inequalitybot) November 19, 2019 重み付き相加相乗平均の不等式より ただし、 であることを用いた。

不等式bot[222]

[222]☆1pic.twitter.com/9zu0B4mHzs— 不等式bot (@Inequalitybot) November 20, 2019 a≧b≧cとしてよく、このときであるから、 並べ替え不等式より

不等式bot[55]

[55]☆3pic.twitter.com/N1W83SFJI4— 不等式bot (@Inequalitybot) November 17, 2019 他の項も同様にして辺々加えて示すべき不等式を得る。

不等式bot[73]

☆5pic.twitter.com/pKRBDMC2lQ— 不等式bot (@Inequalitybot) November 13, 2019 a=1+x, b=1+y, c=1+zとおく。xy≧0としてよい。また、z>-1である。このとき、 なので、であるが、両辺に3を加えて示すべき不等式を得る。

不等式bot[24]

[24]☆3pic.twitter.com/IZgf5Tyl9Z— 不等式bot (@Inequalitybot) November 13, 2019 とおくと、であり、 となる。 x≧y≧zのときかつであるから、並べ替え不等式より。 x≧z≧yのときも同様。

不等式bot[32]

[32]☆5pic.twitter.com/8dG6J5TMO3— 不等式bot (@Inequalitybot) November 12, 2019 Titu's Lemmaより また、 である。 ここで、に注意すると、 より示された。 但し、最後の不等式は相加平均≧調和平均の関係を用いた。

不等式bot[59]

[59]☆2pic.twitter.com/3IrRLGqwQH— 不等式bot (@Inequalitybot) November 12, 2019 AM-GM不等式より なので示された。

東大2005年前期文系問題3(不等式bot[138])

[138]x^4-2(s+t)xx+(s-t)^2=0☆1pic.twitter.com/HC1EL55kxv— 不等式bot (@Inequalitybot) November 11, 2019 とおく。と変数変換するとがわかる。 二次方程式の解の公式よりである。これをとおく。 は単調増加なので、 は単調減少なので。 あわせて、はから…

不等式bot[56]

[56]☆3pic.twitter.com/KJkGIRqQyW— 不等式bot (@Inequalitybot) November 12, 2019 およびよりである。 は下に凸なので。

不等式bot[175]

[175]☆4pic.twitter.com/0RTiS9kcCv— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月12日 であるが、 より示された。

不等式bot[61]

[61]☆3pic.twitter.com/AUXNCf3ZJO— 不等式bot (@Inequalitybot) November 10, 2019 a≧b≧c≧0でa+b+c=1のときに (*)の成立を示せばよい。 および より、 (*)の左辺

不等式bot[84]

☆3pic.twitter.com/rctJCrlsD6— 不等式bot (@Inequalitybot) November 9, 2019 である。 k>m>nとしてよい。 (i)m-n>1のとき (ii) k-m=m-n=1のとき (iii) k-m>1, m-n=1のとき k-m=a, max{m,a}=Mとおくと、m≧2,a≧2よりam≧2Mなので、 (i)-(iii)よりLHS≦RHSが示…

不等式bot[22]

[22]☆4pic.twitter.com/CpP94WsQcl— 不等式bot (@Inequalitybot) November 9, 2019 であり、同様にであるから、 となる。

不等式bot[65]

☆4pic.twitter.com/qS0rFye9XD— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 分母を払って整理するとと同値であるが、 これは(a,b,c)と(ab,bc,ca)の並べ替え不等式から成立することが分かる。

不等式bot[26]

[26]☆5pic.twitter.com/kdtKbxrYkJ— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 とにCaychy-Schwarzの不等式を適用して、となる。 ここでであるから、 となり、上の結果と合わせて求めるべき不等式を得る。

不等式bot[105]

☆1pic.twitter.com/DMIEx2ZMjb— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月8日 a_k/√(a_k+a_{k+1})と√(a_k+a_{k+1})でコーシーシュワルツすると、 (与式左辺)*(2Σa_k)≧(Σa_k)^2より示される。Titu's LemmaとかEngel's formとかSedrakyan's inequalityとか言われ…

不等式bot[45]

[45]☆3pic.twitter.com/yM7d9rKYJb— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 である。 ここで、a≧b≧cとしてよく、このときなので、並べ替え不等式より なので。 また、 なので。 以上より4LHS≧12が言えるが、両辺を4で割って示すべき不等式を得る。

不等式bot[40]

[40]☆2pic.twitter.com/qYpsyf5uJb— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 とおく。 従ってf(x)は単調減少であるからf(3)>f(4)。この両辺を12乗すると示すべき不等式を得る。

不等式bot[113]

☆3pic.twitter.com/HKCct41mll— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 とおくとよりx>0で上に凸。 従って となるが、これは示すべき不等式の両辺をnで割ったものである。

不等式bot[18]

[18]☆5pic.twitter.com/zYHzbzWzG8— 不等式bot (@Inequalitybot) November 7, 2019 0 このとき、xy≦xz≦yzであり、 x^2(y+z)=x(xy+xz)≦y(xy+yz)=y^2(x+z)≦z(xz+yz)=z^2(x+y)となる。 従って、並べ替え不等式より これより ただし、右側の不等号は相加平均≧相…

不等式botまとめ

どれを解いたのか分からなくなりそうなのでまとめておく。 方針を一言で説明しづらいものは解答ページを作成していることが多い。[15]☆4 斉次化してShurとx^3+y^3+z^3≧3xyz (解答略) https://twitter.com/Inequalitybot/status/1194345827084328961[18]☆5 …

不等式bot[46]

[46]☆4pic.twitter.com/X5oIMrlWLh— 不等式bot (@Inequalitybot) September 6, 2019 a≦b≦cとしてよい。 (左辺)/(右辺)=(c/b)^{(2c-a-b)/3}(b/a)^{(b+c-2a)/3}≧1。

不等式bot[41]

[41]☆2pic.twitter.com/gAGtauctHt— 不等式bot (@Inequalitybot) September 1, 2019 f(x)=2sinh(x)とおくと、x≧0の範囲でf''(x)=2shih(x)≧0。 a,b,c≧1よりlna,lnb,lnc≧0であるから、 f(x)の凸性より、(左辺)=f(3lna)+f(3lnb)+f(3lnc)≧3f(lna+lnb+lnc)=(右辺)…