不等式bot[195] - shaitan's blog

問題195 pic.twitter.com/DXp7nQ5DTD
— 不等式bot (@Inequalitybot) 2021年10月25日

$a=z^2, b=(x-y)^2$ とおくと、 $a+b=2(x^2+y^2), a-b=4xy$ であるから、
(左辺) $=6\left[(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz\right]^2$
$=6\cdot3^2x^2y^2z^2=\dfrac{3^3}8a(a-b)^2=\dfrac18({3^3}a^3-2\cdot{3^3}a^2b+{3^3}ab^2)$
(右辺) $=\dfrac{(3a+b)^3}8=\dfrac18(3^3a^3+3^3a^2b+3^2ab^2+b^3)$
であるから、(右辺)-(左辺) $=\dfrac{b}8(3^2a-b)^2\geq0$ より示された。

対称性を崩さずに示せるのかもしれないが思いつかなかった。