3辺の長さがととの直方体を，長さがの1辺を回転軸として90°回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体をとする． (1)の体積をを用いて表せ． (2)のとき，の体積のとりうる値の範囲を求めよ． (1) 長さがの1辺に垂直な平面で切った図形は，半径，中…

白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる． 碁石がどのように並んでいても，次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ． その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと，残りは白石と黒石が同数となる． ただし…

AB=AC, BC=2 の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し，ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ． 適当なを選び，この図形をBC方向に倍，BCと垂直方向に倍すれば楕円が円に移るようにする． この円をOとおくと，Oの面積はもとの楕円の面積に等しい．…

(1)を自然数とする．をとおくとき，を満たすすべての整数について，二項係数は偶数であることを示せ． (2)以下の条件を満たす自然数をすべて求めよ． 条件：を満たすすべての整数について二項係数は奇数である． (1) . よりはで割り切れないのでは偶数． (2)…

を正の整数，を実数とする．すべての整数に対して が成り立つようなの範囲をを用いて表せ． 左辺をとおく． より． より． これらよりが必要． とおくと， であるから， つまりのときはが成立する． また，のとき，より十分なので，あわせてならば十分． 以…

数列において，であり，に対しては，次の条件(1)，(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという． (1) は，のどの項とも異なる． (2) のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和がに等しくなることはない． このとき，をで表し，その理由…

を正の実数とする．座標平面上の3点A，B，Pをとり，△APBを考える． の値が変化するとき，∠APBの最大値を求めよ． Bから直線に下ろした垂線の足をHとおくとHであり，BHを直径とする円はAを通る． ∠APBが最大となるのは，△APBの外接円の直径が最小となるときで…

ををみたす行列(は実数)とし，正の整数に対して によりを定める．ならばすべてのに対してであることを示せ． とおくとケーリー・ハミルトンの定理より． を右からかけて． ここで，のときと仮定すると， よりのときもが成立する． であるから，数学的帰納法…

は有理数か． が有理数であると仮定する． (:整数)と書け，とおくと. これよりなので，であるが， 右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾． つまりは有理数ではない．

は実数でとする． とおく．をみたすすべてのに対してが成り立つとき， をみたすすべてのに対してが成り立つことを示せ． であるから，の範囲でが極値を持つときにその極値の絶対値が2以下となることを示せば良い． であるから，のとき極値をとる． の範囲で…

は正の定数とする．不等式がすべての正の数について成り立つという． このときはどのようなものか． のとき等号が成立する． とおくとであり． のときであり，この左辺のの極限を取るとこれはに等しい． つまり． のとき同様の変形をしての極限をとって． 以…

実数に対し次の不等式の成り立つことを示せ． であり相乗平均≦相加平均なので(与式左辺)≦(与式右辺)…①． の加法定理より …② より両辺の分子分母ともに正． (与式左辺)>(与式中辺)と仮定すると，(②の左辺分母) 従って(与式左辺)≦(与式中辺)であるから同様に(…

三角形ABCにおいて，∠B=60°,Bの対辺の長さは整数，他の2辺の長さはいずれも素数である． このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ． ∠A=60°のとき三角形ABCは正三角形である． ∠Aとなる． 三角不等式よりなのでは素数と互いに素． 余弦定理よりつまりで…

問題文 大学入試数学問題集成 > 1986 京都大学 文科系・理科系MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth > 1000){ const iframe = document.getElementById('problem'); iframe.height = '80px'; }}()); のときであるから，． これより，を満たす…

つぼの中に個（）の赤球と，個（）の白球が入っている． AとBの2人が，交互に球を1個ずつとり出し，先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする． ただし，とり出した球は，もとにもどさないものとする． (1) ちょうど回目（すなわちA，B2人のとり出し…

定数に対して，等式が全てのについて成り立つとき，関数は周期関数であるといい， またこの等式を満たすような正の数のうちの最小値をの周期という． 次の関数は周期関数であるか否かを，理由をつけて答えよ．また，周期関数である場合には，その周期を求め…

実数の値によって定まる点PとQがある． (1) がすべての実数を動くとき，直線PQが通過する範囲を図示せよ． (2) が区間を動くとき，線分PQが通過する範囲の面積を求めよ． (1) 直線PQは傾きであり点Pを通るので． とおくと，が実数解を持つことが直線PQが点を…

平面上に動点P,Qがある．Qは時刻0のとき点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進む． 他方Pは時刻0のとき点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進み， ある時刻で向きを変え，速さをに変更してQに到達するように直進するものとする． 時刻から到達する時刻までの時…

関数について，次の問に答えよ． (1) のとき，であることを示せ． (2) が最大および最小となるの値をそれぞれ求めよ． …① また，「のとき，のとき」…②． (1) とする． ②より また，でもあるから． これと①より． (2) でであるから，のとき最大． (1)の結果よ…

を有理数とし，次の関係をもつを座標にもつ平面上の点を考える; いま，がともに有理数で，かつは原点でないとする． このとき，すべてのは有理数であり，点は原点を中心とする定円上にあることを示せ． …① …②である． (①+②×)÷よりであるから， が有理数なら…

は定数，は一つの自然数とする． のとき，つねにであるならば，であることを示せ． とおく． のとき，であるから， ． 同様にのときより示された．

2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり，大きい目を出した方を勝ちとすることにした． ただし，このサイコロは必ずしも正しいものではなく，の目の出る確率はである()． このとき (1)引き分けになる確率を求めよ． (2)であることを示せ．また，ならば，である…

とする． すべてのに対してが成り立つように，定数を定めよ． とおくと． 従ってなので． ここで，ある定数が存在しと書ける． より. 両辺の最大値はそれぞれであり，両者は等しいので． とあわせて． このときを満たすにはであることが必要十分なので (:整…

を正の数とするとき，不等式 を証明せよ．また，等号が成立するのはどんな場合か． (右辺)-(左辺). なぜなら，中辺の括弧内はの相加平均から相乗平均を引いたものであるから． 等号成立はのとき．

であるような△において，辺の三等分点をとる()．このとき， (1) ととの大小関係をしらべよ． (2) ととの大小関係をしらべよ． (1) とおく． より (2) を底辺と考えると△と△の面積は等しいので，． より． △を考えると，よりは鈍角ではない． これより も鈍角…

(1) のときを示せ． (2) を示せ(は自然数)． (1) 相加平均と相乗平均の関係より． (2) であるから， .

が実数でのとき，数列をによって定義する． このとき (1) をとで表わせ． (2) を求めよ． (1) とおくと，． これよりであるから. (2) .

がこの順に等差数列であり，がこの順に等比数列であるときはどのようなときか． 条件より，である． なので． つまり (． 従って がこの順に公差の等差数列であることが必要だが， このときとなりがこの順に等比数列となるので十分．

であって であるという．との値を求めよ． とおく． を三頂点とする三角形は重心と外心がいずれも原点であり一致するから正三角形． これよりとのなす角はであるからより． 同様にであるからそれぞれ加えて となるがよりのみ適する． つまり．

がの多項式で，次の三条件をみたすものとする．およびを求めよ． (イ). (ロ)はで割り切れる． (ハ)は次式で，の係数は1, の係数は0である． (ロ)よりとおける(は定数)． を両辺で積分すると， (イ)より (は積分定数)． 従って. となるので (ハ)より． 以上よ…