京大1984年理系問題3

実数の値によって定まる点PとQがある．
(1) がすべての実数を動くとき，直線PQが通過する範囲を図示せよ．
(2) が区間を動くとき，線分PQが通過する範囲の面積を求めよ．

(1)
直線PQは傾き $\dfrac{t-(-t)}{(t+1)-(t-1)}=t$ であり点Pを通るので $y=tx-t^2$ ．
$f(t)=t^2-xt+y$ とおくと， $f(t)=0$ が実数解を持つことが直線PQが点 $(x:y)$ を通過する条件．
判別式 $D=x^2-4y\geq0$ より $y=\dfrac{x^2}4$ の下側の部分(境界を含む)．（図は省略）
(2)
A $(1,0)$ , B $(2,1)$ ,C $(-1,0)$ , D $(0,-1)$ とおくと，Pは線分AB上，Qは線分CD上にある．
線分AB上の点は直線CDの上側にあるのでPQが通過する範囲は直線CDおよびその上側，つまり $y\geq -x-1$ ．
線分CD上の点は直線AB上かその上側にあるのでPQが通過する範囲は直線ABおよびその上側，つまり $y\geq x-1$ …☆．
面積を求めるべき範囲に点 $(x,y)$ が含まれるには $f(t)=0$ が $0\leq t\leq 1$ で解をもつことが必要．
(i) $0<\dfrac x2<1$ のとき
$f\left(\dfrac x2\right)\leq0$ であり☆より $f(1)\geq0$ だから $0\leq t\leq 1$ で解を持つ．
(ii) $\dfrac x2\leq0, 1\dfrac x2$ のとき
$f(0)f(1)\leq0$ ならば良いが，☆より $f(1)\geq0$ だから $f(1)=0$ または $f(0)\leq0$ ．
以上を合わせて， $x\leq0$ では $-x-1\leq y\leq0$ (△OCDの周および内部)， $x>0$ では $x-1\leq y\leq\dfrac{x^2}4$ ．
従って求める面積は
$\displaystyle\frac12+\int_0^2\left[\frac{x^2}4-(x-1)\right]\mathrm dx=\frac76$ .

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京大1984年理系問題3