京大2017年前期理系問題5

a≧0とする.
の範囲で曲線, 直線y=ax, 直線によって囲まれた部分の面積をS(a)とする. 
このとき, S(a)の最小値を求めよ.
（ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする.）

直線 $\ell:y=xe^{-1}$ と曲線 $C:y=xe^{-x}$ の位置関係を考える。
$\dfrac xe-xe^{-x}=x(e^{-1}-e^{-x})$ であるから、これらは点(0,0)と $(1,e^{-1})$ を共有し、0< x<1の範囲ではCは $\ell$ の上にあり、1< xでは $\ell$ はCの上にある。

求める囲まれた部分のうち、y>axにあるものとy< axにあるものに分け、それらの領域をそれぞれ $A_1(a), A_2(a)$ 、面積をそれぞれ $S_1(a), S_2(a)$ とする。そのような部分が存在しない場合は領域は空集合、面積は0とする。
直線 $\ell$ とy=axとx=1で囲まれた三角形と直線 $\ell$ とy=axと $x=\sqrt2$ で囲まれた三角形は相似であり、相似比は $1:\sqrt2$ であるから、直線 $\ell$ とy=axとx=1で囲まれた三角形と直線 $\ell$ とy=axとx=1と $x=\sqrt2$ で囲まれた四角形の面積は等しい。この面積をS'とおく。
$a>e^{-1}$ のとき、
$A_1(a)$ は $A_1(e^{-1})$ に含まれ、 $A_1(e^{-1})$ から $A_1(a)$ を取り除いた領域は直線 $\ell$ とy=axとx=1で囲まれた三角形に含まれるから $S_1(a)-S_1(e^{-1})>-S'$ である。
同様に $S_2(a)-S_2(e^{-1})>S'$ が言えるので $S(a)>S(e^{-1})$ 。
$a< e^{-1}$ のとき、同様の議論により $S(a)>S(e^{-1})$ 。
従って、求める最小値は $S(e^{-1})$ 。以下、積分計算を行えば求まる。

これは図を描いた方が分かりやすいよなあ（描く気はない）。

shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大2017年前期理系問題5