不等式bot[18] - shaitan's blog

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— 不等式bot (@Inequalitybot) November 7, 2019

0 < x≦y≦zとしてよい。
このとき、xy≦xz≦yzであり、
x^2(y+z)=x(xy+xz)≦y(xy+yz)=y^2(x+z)≦z(xz+yz)=z^2(x+y)となる。
従って、並べ替え不等式より
$\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\dfrac{yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\geq\sum_{\text{cyc.}}\dfrac{xy+xz}{2\sqrt{2x^2(y+z)}}=\sum_{\text{cyc.}}\dfrac{\sqrt{y+z}}{2\sqrt{2}}$
これより
$\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\dfrac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\geq\sum_{\text{cyc.}}\left\{\dfrac{x}{\sqrt{2(y+z)}}+\dfrac{\sqrt{y+z}}{2\sqrt{2}}\right\}\geq\sum_{\text{cyc.}}\sqrt{x}=1$
ただし、右側の不等号は相加平均≧相乗平均の関係を用いた。