不等式bot[31] - shaitan's blog

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— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月29日

$\sqrt{bc}=t$ とおく。k>0で考える（この範囲で最大のkがあればそれが求めるkである）
AM-GM不等式より $b^3+c^3\geq2t^3$ （b=cのとき等号成立）なので
$\text{RHS}=k\{t^2a^2-(b^3+c^3)a+t^4\}\leq kt^2(a^2-2ta+t^2)=kt^2(a-t)^2$
したがって、kが $(a+t)^2>kt^2$ を満たすことが必要十分。
ここで条件より $a>t$ であるから $\dfrac{(a+t)^2}{t^2}>4$ 。
これより、k=4のときこの不等式は成立する。
k>4のとき、 $\dfrac{(a+t)^2}{t^2}=k$ を満たすaが存在し、このとき $(a+t)^2=kt^2$ となるので不等式は成立しない。
以上より求めるkの値は4である。