不等式bot[84] - shaitan's blog

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— 不等式bot (@Inequalitybot) November 9, 2019

$kmn(\text{RHS}-\text{LHS})=\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}k^2\left[\dfrac{(m-n)^2}2-1\right]+1$ である。
k>m>nとしてよい。
(i)m-n>1のとき
$kmn(\text{RHS}-\text{LHS})>k^2-\dfrac{n^2}2>0$
(ii) k-m=m-n=1のとき
$kmn(\text{RHS}-\text{LHS})=-\dfrac{(m+1)^2}2+m^2-\dfrac{(m-1)^2}2+1=0$
(iii) k-m>1, m-n=1のとき
k-m=a, max{m,a}=Mとおくと、m≧2,a≧2よりam≧2Mなので、
$kmn(\text{RHS}-\text{LHS})>\dfrac{-(m+a)^2}2+\dfrac{a^2m^2}2\geq\dfrac{-(2M)^2+(2M)^2}2=0$

(i)-(iii)よりLHS≦RHSが示された。