shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

不等式bot[61]

不等式bot 箱庭数学


a≧b≧c≧0でa+b+c=1のときに
\max\left\{a^2b^{}+b^2c^{} +c^2a^{}, a^{}b^2+b^{}c^2+c^{}a^2\right\}\leq\dfrac4{27}(*)の成立を示せばよい。
(a^2b^{}+b^2c^{} +c^2a^{})-(a^{}b^2+b^{}c^2+c^{}a^2)=(a-b)(a-c)(b-c)\geq0および
(a+c)^2b^{}-(a^2b^{}+b^2c^{} +c^2a^{})=bc(a-b)+ac(b-c)+bc^2\geq0より、
(*)の左辺\leq(a+c)^2b^{}=4\cdot\dfrac{a+c}2\cdot\dfrac{a+c}2\cdot b\leq4\left(\dfrac{\frac{a+c}2+\frac{a+c}2+b}3\right)^3=\dfrac4{27}