不等式bot[32] - shaitan's blog

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— 不等式bot (@Inequalitybot) November 12, 2019

Titu's Lemmaより
$\text{RHS}=2\left(\dfrac{b^2}{ab}+\dfrac{c^2}{bc}+\dfrac{a^2}{ca}\right)\geq\dfrac{2(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=4+\dfrac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}$
また、 $\text{LHS}=3+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}$ である。
ここで、 $\dfrac{a}{b+c}\cdot(ab+bc+ca)=a^2+\dfrac{abc}{b+c}$ に注意すると、
$(ab+bc+ca)(\text{RHS}-\text{LHS})=\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\left(ab-\dfrac{2abc}{b+c}\right)$
$=abc\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\left[\dfrac12\left(\dfrac1b+\dfrac1c\right)-\dfrac2{b+c}\right]\geq0$ より示された。
但し、最後の不等式は相加平均≧調和平均の関係を用いた。