2以上の自然数nに対して、不等式 が成り立つことを示せ。 (左辺)

nを3以上の整数とする。n個の球とn個の空（から）の箱がある。以下のように、の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。 まず、球を箱のどれか1つに無作為に入れる。次に、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りのn-1個の空の箱のどれか1つに無作為…

1次式に対してが成り立つとする。このときとはともにの定数倍であることを示せ。 であり、左辺は2次式なのではいずれも1次式。がで割り切れるので、はで割り切れる。つまり（は定数）とおけるが、このとき。についても同様。 途中は「因数分解は定数倍と順序…

f(x)はxの3次式で、f(x)をその導関数f'(x)で割ったときの余りは定数である。このとき方程式f(x)=0をみたす実数はただ一つであることを示せ。 f(x)が単調、つまり極値をもたないことを言えばよい。極大値、極小値をもつとして矛盾を示す。 極大、極小値を与え…

n個(n≧3)の実数があり、各は他のn-1個の相加平均より大きくないという。 このようなの組をすべて求めよ。 とおく。 条件は任意のiに対し ⇔ …(*) iについて1からnまでの和をとるとより等号成立するから、すべてのiについて(*)の等号が成立する。 つまり、 (a…

a+b+c=0を満たす実数a,b,cについて、が成り立つことを示せ。 また、ここで等号が成り立つのはどんな場合か。 (左辺)-(右辺)+(a+b+c)^2=2(|ab|+ab)+2(|bc|+bc)+2(|ca|+ca)≧0より成立する。 等号成立は、ab=-|ab|かつbc=-|bc|かつca=-|ca|つまりab≦0かつbc≦0か…

一辺の長さが1の正三角形ABCの辺AC上にDをとり、線分BDに沿ってこの三角形を折り曲げ、4点A, B, C, Dを頂点とする四面体を作り、その体積を最大にすることを考える。体積が最大になるときのDの位置と、そのときの四面体の体積を求めよ。 辺ACの中点をMとする…

自然数はどちらも3で割り切れないが、は81で割り切れる。このようなの組のうち、の値を最小にするものと、そのときのの値を求めよ。 が3で割り切れることよりは3の倍数。 である。は9の倍数であり、は3の倍数だが9の倍数でないから内は3の倍数だが9の倍数で…

四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。 条件：頂点A,B,Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る。 ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。 辺…

2以上の自然数に対してとおく。このとき、次のことを証明せよ。 i) n次多項式がで割り切れるためには、が定数を用いての形で表されることが必要十分である。 ii) n次多項式がで割り切れるためには、が関係式をみたす定数を用いての形で表されることが必要十…

とおく。このとき、以下のことが成り立つことを示せ。 (1) およびは有理数である。 (2)任意の自然数に対し、は整数である。 (1) であり、 に注意すると同様に。 それぞれの式の差をとってであるが、より両辺で割って整理すると。 また、それぞれの式の和をと…

すべての正の実数に対し が成り立つような実数の最小値を求めよ。 Cauchy–Schwarzの不等式より、 であるから、両辺の平方根をとってとなる。 したがって、ならばすべての正の実数に対し与不等式が成立する。 ここで、与不等式にを代入するとより、でなければ…

実数を成分にもつ行列と実数が下の条件(i), (ii), (iii)をみたすとする。 (i) (ii) (iii)とするとき、 このとき以下の問に答えよ。 (1),(2) 略 (3) かつを示せ。 (1),(2) 略 (3) ここでよりであるが、 なのでである。 このとき、よりであるが、よりとなる。

sin 50° の評価についての問題です。#津田塾大学 pic.twitter.com/uiMWK0DXEg— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2019年12月1日 ここでよりであるから、 は条件を満たす。三倍角の公式よりであるから、 とおくと、である。 三倍角の公式よりも成立し、である。 …

[31]☆6pic.twitter.com/1cr2R2uT6t— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月29日 とおく。k>0で考える（この範囲で最大のkがあればそれが求めるkである） AM-GM不等式より （b=cのとき等号成立）なので したがって、kがを満たすことが必要十分。 ここで条件…

[158]aa/b+bb/c+cc/a≧3(aa+bb+cc)☆5pic.twitter.com/GdAArNQwk2— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月22日 であるから、 より示すべき不等式を得る。

☆3pic.twitter.com/kloLuArI1l— 不等式bot (@Inequalitybot) November 21, 2019 x=a+b, y=b+c, z=c+aとおくと、 より示された。

[50]☆4pic.twitter.com/XfbwoWMibg— 不等式bot (@Inequalitybot) November 21, 2019 a≧b≧cとしてよく、このときa≧1≧cであるから、

☆1pic.twitter.com/0JCw7hput8— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月21日 同様にである。 また、 であるから。 これらの式を加えて示すべき不等式を得る。平方完成するのも2変数のAM-GMも同じことだが、前者はイコールで繋げるので変形を省略しやすい（気…

☆5pic.twitter.com/nbJtEyDxKj— 不等式bot (@Inequalitybot) November 20, 2019 条件A(m,n)をとする。 であるから、 A(m,n)⇒A(m-1,n)であり、同様にA(m,n)⇒A(m,n-1)となる。 これを繰り返し適用すると、A(m,n)⇒A(k,l) (m≧k, n≧l)が言える。 条件よりA(2011,2…

[49]☆4pic.twitter.com/Qtm757O0V0— 不等式bot (@Inequalitybot) November 19, 2019 重み付き相加相乗平均の不等式より ただし、 であることを用いた。

[222]☆1pic.twitter.com/9zu0B4mHzs— 不等式bot (@Inequalitybot) November 20, 2019 a≧b≧cとしてよく、このときであるから、 並べ替え不等式より

[55]☆3pic.twitter.com/N1W83SFJI4— 不等式bot (@Inequalitybot) November 17, 2019 他の項も同様にして辺々加えて示すべき不等式を得る。

☆5pic.twitter.com/pKRBDMC2lQ— 不等式bot (@Inequalitybot) November 13, 2019 a=1+x, b=1+y, c=1+zとおく。xy≧0としてよい。また、z>-1である。このとき、 なので、であるが、両辺に3を加えて示すべき不等式を得る。

[24]☆3pic.twitter.com/IZgf5Tyl9Z— 不等式bot (@Inequalitybot) November 13, 2019 とおくと、であり、 となる。 x≧y≧zのときかつであるから、並べ替え不等式より。 x≧z≧yのときも同様。

[32]☆5pic.twitter.com/8dG6J5TMO3— 不等式bot (@Inequalitybot) November 12, 2019 Titu's Lemmaより また、 である。 ここで、に注意すると、 より示された。 但し、最後の不等式は相加平均≧調和平均の関係を用いた。

[59]☆2pic.twitter.com/3IrRLGqwQH— 不等式bot (@Inequalitybot) November 12, 2019 AM-GM不等式より なので示された。

[138]x^4-2(s+t)xx+(s-t)^2=0☆1pic.twitter.com/HC1EL55kxv— 不等式bot (@Inequalitybot) November 11, 2019 とおく。と変数変換するとがわかる。 二次方程式の解の公式よりである。これをとおく。 は単調増加なので、 は単調減少なので。 あわせて、はから…

[56]☆3pic.twitter.com/KJkGIRqQyW— 不等式bot (@Inequalitybot) November 12, 2019 およびよりである。 は下に凸なので。

[175]☆4pic.twitter.com/0RTiS9kcCv— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月12日 であるが、 より示された。