[61]☆3pic.twitter.com/AUXNCf3ZJO— 不等式bot (@Inequalitybot) November 10, 2019 a≧b≧c≧0でa+b+c=1のときに (*)の成立を示せばよい。 および より、 (*)の左辺

☆3pic.twitter.com/rctJCrlsD6— 不等式bot (@Inequalitybot) November 9, 2019 である。 k>m>nとしてよい。 (i)m-n>1のとき (ii) k-m=m-n=1のとき (iii) k-m>1, m-n=1のとき k-m=a, max{m,a}=Mとおくと、m≧2,a≧2よりam≧2Mなので、 (i)-(iii)よりLHS≦RHSが示…

[22]☆4pic.twitter.com/CpP94WsQcl— 不等式bot (@Inequalitybot) November 9, 2019 であり、同様にであるから、 となる。

☆4pic.twitter.com/qS0rFye9XD— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 分母を払って整理するとと同値であるが、 これは(a,b,c)と(ab,bc,ca)の並べ替え不等式から成立することが分かる。

[26]☆5pic.twitter.com/kdtKbxrYkJ— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 とにCaychy-Schwarzの不等式を適用して、となる。 ここでであるから、 となり、上の結果と合わせて求めるべき不等式を得る。

☆1pic.twitter.com/DMIEx2ZMjb— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月8日 a_k/√(a_k+a_{k+1})と√(a_k+a_{k+1})でコーシーシュワルツすると、 (与式左辺)*(2Σa_k)≧(Σa_k)^2より示される。Titu's LemmaとかEngel's formとかSedrakyan's inequalityとか言われ…

[45]☆3pic.twitter.com/yM7d9rKYJb— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 である。 ここで、a≧b≧cとしてよく、このときなので、並べ替え不等式より なので。 また、 なので。 以上より4LHS≧12が言えるが、両辺を4で割って示すべき不等式を得る。

[40]☆2pic.twitter.com/qYpsyf5uJb— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 とおく。 従ってf(x)は単調減少であるからf(3)>f(4)。この両辺を12乗すると示すべき不等式を得る。

☆3pic.twitter.com/HKCct41mll— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019 とおくとよりx>0で上に凸。 従って となるが、これは示すべき不等式の両辺をnで割ったものである。

[18]☆5pic.twitter.com/zYHzbzWzG8— 不等式bot (@Inequalitybot) November 7, 2019 0 このとき、xy≦xz≦yzであり、 x^2(y+z)=x(xy+xz)≦y(xy+yz)=y^2(x+z)≦z(xz+yz)=z^2(x+y)となる。 従って、並べ替え不等式より これより ただし、右側の不等号は相加平均≧相…

どれを解いたのか分からなくなりそうなのでまとめておく。 方針を一言で説明しづらいものは解答ページを作成していることが多い。[14] 左辺各項にa,b,c,dをかけてTitu's lemma https://twitter.com/Inequalitybot/status/1452573660267548674[15]☆4 斉次化し…

cos x + cos √2x について。#山梨医科大学 pic.twitter.com/oN8AfBnKEe— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) September 14, 2019 (1)略。 (2) (3±2√2)^5 =3^5+10*3^3*(2√2)^2+5*3*(2√2)^4±n√2 =243+2160+960±n√2 =3363±n√2 （nは整数） であり、(3+2√2)(3-2√2)=1と…

[46]☆4pic.twitter.com/X5oIMrlWLh— 不等式bot (@Inequalitybot) September 6, 2019 a≦b≦cとしてよい。 (左辺)/(右辺)=(c/b)^{(2c-a-b)/3}(b/a)^{(b+c-2a)/3}≧1。

[41]☆2pic.twitter.com/gAGtauctHt— 不等式bot (@Inequalitybot) September 1, 2019 f(x)=2sinh(x)とおくと、x≧0の範囲でf''(x)=2shih(x)≧0。 a,b,c≧1よりlna,lnb,lnc≧0であるから、 f(x)の凸性より、(左辺)=f(3lna)+f(3lnb)+f(3lnc)≧3f(lna+lnb+lnc)=(右辺)…

[187](aa+bb)^(1/2)+(aaa+bbb)^(1/3)+(a^4+b^4)^(1/4)≦3a+b☆3pic.twitter.com/4IukWTkpyA— 不等式bot (@Inequalitybot) September 1, 2019 両辺をaで割って、x=b/aとおく。 0≦x≦1のときΣ_[k=1,...,3](1+x^k)^(1/k)≦3+x を示せばよい。 (1+x/2)^2≧1+x>1+x^2 (…

☆6pic.twitter.com/6AWNMUBSVn— 不等式bot (@Inequalitybot) September 1, 2019 x=(a+b)/2, y=(a-b)/2とおくと、0≦y≦xであり、x,yは独立。 a=x+y, b=x-y, c=3-2xであるから、 ∂a/∂y=1, ∂b/∂y= -1, ∂c/∂y=0。 従って∂f/∂y=b^2-2ab-c^2+2ca=(b+c-2a)(b-c)≦0 こ…

[50]☆4pic.twitter.com/XfbwoWMibg— 不等式bot (@Inequalitybot) August 23, 2019 a≦b≦cとしてよく、このときa≦1≦cである。 (左辺)=(左辺)/(abc)^(c+a)=a^(b-a)/c^(c-b)≦1

☆2pic.twitter.com/z9CIREnkuS— 不等式bot (@Inequalitybot) August 25, 2019 a=(左辺)*6、b=xy+yz+zxとする。 108*((右辺)^2-(左辺)^2)=4(a+b)(a-b)-3a^2=(a+2b)(a-2b)≧0 ∵2(a-2b)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≧0

は上に凸であるから となる。 不等式bot[62] [62]☆1pic.twitter.com/IsZknQHqZW— 不等式bot (@Inequalitybot) August 24, 2019 としてよい。 (左辺) であり、のとき等号が成立するので最大値は。 不等式bot[23] [23]☆3pic.twitter.com/1Q9mbwk5Od— 不等式bot…

[136]☆3pic.twitter.com/GGYY7P6Juo— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月8日 (1) より(与式)≧0。 のとき、(与式)=0でありこれは最小値。 さて、(与式)であるから、x+yを固定したとき、xyが最大すなわちx=yのときに最大値をとる。 相加平均と相乗平均の関…

AD//BCなる台形ABCDがあり∠ABD=18°, ∠DBC=30°, ∠ACB=54°のとき∠ACDを求めよ。 ACとBDの交点をEとおく。辺BC上にAF=BFを満たす点Fをとる。AF=BF=1として一般性を失わない。 △ACFにおける正弦定理よりCF=AFsin∠CAF/sin∠ACF=1/(2sin54°)=1/(2cos36°)。 ここで、…