√の凸性 - shaitan's blog

$f(x)=\sqrt{x}$ は上に凸であるから
$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq2\sqrt{\dfrac{x+y}2}$ となる。

不等式bot[62]

[62]☆1pic.twitter.com/IsZknQHqZW
— 不等式bot (@Inequalitybot) August 24, 2019

$x\leq y\leq z$ としてよい。
(左辺) $=\sqrt{y-x}+\sqrt{z-y}+\sqrt{z-x}$
$\leq2\sqrt{\dfrac{(y-x)+(z-y)}2}+\sqrt{z-x}$
$=(1+\sqrt2)\sqrt{z-x}\leq1+\sqrt2$
であり、 $x=0,y=\dfrac12,z=1$ のとき等号が成立するので最大値は $1+\sqrt2$ 。