shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

2019-11-12

不等式bot[56]

[56]☆3pic.twitter.com/KJkGIRqQyW
— 不等式bot (@Inequalitybot) November 12, 2019

$\left\{(a+b)^2+(a+b)+1\right\}(a+b-1)=(a+b)^3-1=3ab(a+b-1)$
および $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab>3ab$ より $a+b=1$ である。
$f(x)=\left(x+\dfrac1x\right)^3$ は下に凸なので $\text{LHS}\geq4f\left(\dfrac12\right)=\dfrac{125}2$ 。