shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東大2005年前期文系問題3（不等式bot[138]）

不等式bot 箱庭数学


u=2stとおく。s=\cos\theta, t=\sin\theta, 0\leq\theta\leq\dfrac\pi2と変数変換すると0\leq u=\sin2\theta\leq1がわかる。
二次方程式の解の公式よりx^2=s+t\pm\sqrt{(s+t)^2-(s-t)^2}=\sqrt{1+u}\pm\sqrt{2u}である。これをf_{\pm}(u)とおく。
f_+(u)は単調増加なので1=f_+(0)\leq f_+(u)\leq f_+(1)=2\sqrt2、
f_-(u)=\dfrac{1-u}{f_+(u)}は単調減少なので0=f_-(1)\leq f_-(u)\leq f_-(0)=1。
あわせて、x^2は0から2\sqrt2まで（端を含む）の値を取り得る。
従って、求める値の範囲は-2^{\frac34}\leq x\leq2^{\frac34}となる。