shaitan's blog

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2005年東大前期文系問題3（不等式bot[138]）

不等式bot 箱庭数学


2005 東京大学 前期MathJax
東大文科 2005前期 3

u=2stとおく。s=\cos\theta, t=\sin\theta, 0\leq\theta\leq\dfrac\pi2と変数変換すると0\leq u=\sin2\theta\leq1がわかる。
二次方程式の解の公式よりx^2=s+t\pm\sqrt{(s+t)^2-(s-t)^2}=\sqrt{1+u}\pm\sqrt{2u}である。これをf_{\pm}(u)とおく。
f_+(u)は単調増加なので1=f_+(0)\leq f_+(u)\leq f_+(1)=2\sqrt2、
f_-(u)=\dfrac{1-u}{f_+(u)}は単調減少なので0=f_-(1)\leq f_-(u)\leq f_-(0)=1。
あわせて、x^2は0から2\sqrt2まで（端を含む）の値を取り得る。
従って、求める値の範囲は-2^{\frac34}\leq x\leq2^{\frac34}となる。


[2026.6.28追記]
u=s+t とおく。u^2+(s-t)^2=2 であるから、-\sqrt2\leq u\leq\sqrt2 であり、(s-t)^2=2-u^2 である。
f(u)=x^4-2ux^2+2-u^2 とおき、f(u)=0 が -\sqrt2\leq u\leq\sqrt2 の範囲で実数解を持つ条件を考えればよい。
f(0)=x^4+2>0 であるから、求める条件は f(\pm\sqrt2)=x^4\mp2\sqrt2x^2 の少なくとも一方が正でないこと、すなわち -2^{\frac34}\leq x\leq2^{\frac34} である。