不等式bot[71] - shaitan's blog

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— 不等式bot (@Inequalitybot) 2019年11月21日

$\sqrt{a^4+d^4}=\sqrt{(a^2-d^2)^2+2a^2d^2}\geq\sqrt2|ad|\geq\sqrt2ad$
同様に $\sqrt{b^4+c^4}\geq\sqrt2bc$ である。
また、
$\left(\sqrt{a^4+c^4}+\sqrt{b^4+d^4}\right)^2-\left[\sqrt2(ad+bc)\right]^2$
$=(a^2-d^2)^2+(b^2-c^2)^2+2\sqrt{a^4+c^4}\sqrt{b^4+d^4}-4adbc$
$\geq4|ac||bd|-4adbc\geq0$
であるから $\sqrt{a^4+c^4}+\sqrt{b^4+d^4}\geq\sqrt2(ad+bc)$ 。
これらの式を加えて示すべき不等式を得る。

平方完成するのも2変数のAM-GMも同じことだが、前者はイコールで繋げるので変形を省略しやすい（気がする）し、いちいち断らなくていい（気がする）ので使いやすい。