数学問題bot
新潟大2020 - shaitan's blogと同じように解いた問題があったので貼っておく。4個のサイコロを投げて出た目の数の和を4で割ったときの余りを考える。余りがいくらになるときが最も確率が大きいか求めよ。（０７京都高校生数学コンテスト） #math— 数学問題bo…
無限級数の和Σ[n=1,∞]1/(2^n)tan{x/(2^n)}をx,tanxのなるべく簡単な式で表せ。（近畿大学第７回数学コンテスト） #math— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2010年10月31日 全てのnに対しの値があるので、xがπの整数倍となるのはx=0のときのみ。このとき与式の…
１からｎまでの数字がもれなくひとつずつ書かれたｎ枚のカードの束から同時に２枚のカードを引く。この時引いたカードの数字のうち小さい方が３の倍数である確率をp(n)とする。（中略）正の整数kに対し、p(3k＋2)をkで表せ。（１０東工大） #数学— 数学問題b…
f(x^2＋1)={f(x)}^2＋1を満たすn次の多項式f(x)が存在するような自然数nを全て求めよ。（１１東工大ＡＯ） #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2017年4月29日とおくと、題意の条件はと書ける。 また、より……(*)。 とおくとは条件を満たす次の多項式であ…
任意の自然数に対して，常に不等式 が成立するような最大の整数を求めよ。 与えられた不等式の左辺をA(n)とおく。 である。 ここで、であるから、 . また、であるから、 . 以上より、求める整数である。
3辺の長さがととの直方体を，長さがの1辺を回転軸として90°回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体をとする． (1)の体積をを用いて表せ． (2)のとき，の体積のとりうる値の範囲を求めよ． (1) 長さがの1辺に垂直な平面で切った図形は，半径，中…
白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる． 碁石がどのように並んでいても，次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ． その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと，残りは白石と黒石が同数となる． ただし…
AB=AC, BC=2 の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し，ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ． 適当なを選び，この図形をBC方向に倍，BCと垂直方向に倍すれば楕円が円に移るようにする． この円をOとおくと，Oの面積はもとの楕円の面積に等しい．…
(1)を自然数とする．をとおくとき，を満たすすべての整数について，二項係数は偶数であることを示せ． (2)以下の条件を満たす自然数をすべて求めよ． 条件：を満たすすべての整数について二項係数は奇数である． (1) . よりはで割り切れないのでは偶数． (2)…
を正の整数，を実数とする．すべての整数に対して が成り立つようなの範囲をを用いて表せ． 左辺をとおく． より． より． これらよりが必要． とおくと， であるから， つまりのときはが成立する． また，のとき，より十分なので，あわせてならば十分． 以…
数列において，であり，に対しては，次の条件(1)，(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという． (1) は，のどの項とも異なる． (2) のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和がに等しくなることはない． このとき，をで表し，その理由…
を正の実数とする．座標平面上の3点A，B，Pをとり，△APBを考える． の値が変化するとき，∠APBの最大値を求めよ． Bから直線に下ろした垂線の足をHとおくとHであり，BHを直径とする円はAを通る． ∠APBが最大となるのは，△APBの外接円の直径が最小となるときで…
は有理数か． が有理数であると仮定する． (:整数)と書け，とおくと. これよりなので，であるが， 右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾． つまりは有理数ではない．
