東大2003年前期理系問題6（その3）

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飽きもせずまた別解。中学知識で解いてみる。図は数学用のソフトではなくJw_cadで描いた。

図のように半径1、頂角36°の扇形OABを考える。辺AB上に∠ABC=36°を満たす点Cを取る。このとき、△OAB∽△BCAであり、AB= $x$ とおくとAC= $x^2$ 。また、△BCAも△OAB同様に二等辺三角形であることからBC=AB= $x$ 。
∠OBC=∠OBA-36°=(180°-36°)/2-36°=36°=∠BOCより、△COBは二等辺三角形。従ってOC=BC= $x$ 。これより $1=\mathrm{OA}=\mathrm{OC}+\mathrm{CA}=x+x^2$ 。これを $x>0$ の範囲で解いて $x=\dfrac{\sqrt5-1}2>\dfrac{\sqrt{2.22^2}-1}2=0.61$ 。
$\dfrac\pi5=\stackrel{\frown}{\mathrm{AB}}>\mathrm{AB}>0.61$ の両辺に5をかけて $\pi>3.05$ を得る。

懲りずに別解
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東大2003年前期理系問題6（その3）