一橋大学2024年前期問題3

2024 一橋大学前期MathJax

与えられた条件より、 $f(x)-\dfrac{x}2-\dfrac32$ を $(x\pm1)^2$ で割ると $-\dfrac12(x\pm1)$ 余る（複合同順、以下同じ）。
また、 $x(x+1)(x-1)$ を $(x\pm1)^2$ で割ると $2(x\pm1)$ 余る。
以上より $f(x)-\dfrac{x}2-\dfrac32+\dfrac14x(x+1)(x-1)$ は $(x\pm1)^2$ で割り切れる。この多項式は4次の係数が1の4次多項式であるから $(x+1)^2(x-1)^2$ に等しい。
したがって、
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2-\dfrac14x(x+1)(x-1)+\dfrac{x}2+\dfrac32$
$=(x^4-2x^2+1)-\dfrac14(x^3-x)+\dfrac{x}2+\dfrac32$
$=x^4-\dfrac14x^3-2x^2+\dfrac34x+\dfrac52$
となる。

なんかごちゃごちゃ書いてましたが書き直しました。

shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

一橋大学2024年前期問題3