東大2000年後期問題1

(1) 略

(2),(3)
定義よりであり、と定義する。
ここで、命題：「を満たす整数がただ一通り存在する」を、についての帰納法で示す。
は確かになりたつ。ある整数以下のについての成立を仮定すると、
であるから、帰納法の仮定よりが成り立つ。
よって数学的帰納法により任意の正整数についてが成立する。
ここで、の整数の組を使ってとおく。
および(C)より。
よって、（は非負整数）であるが、は次以下の多項式であるから、これを満たすのはのみ。
すなわち、を満たす整数が存在する。これによりの存在も示された。
ここで、とおくと、となるが、よりはに一致するから係数の唯一性も示された。これによりの唯一性も示された。